作者單位：
郝全睿，電網智能化調度與控制教育部重點實驗室（山東大學）
李正，電網智能化調度與控制教育部重點實驗室（山東大學）
高峰，電網智能化調度與控制教育部重點實驗室（山東大學）
張靜，國網浙江省電力公司
Reduced-Order Small-SignalModels of Modular Multilevel Converter (MMC) and MMC-based HVDC Grid
Abstract: Generally,the small-signal model (SSM) of modular multilevel converter (MMC) needs toconsider dynamics of equivalent arm capacitors, which inevitably increases themodel order. In view of this, this paper proposes a general order-reducingapproach based on balanced realization theory to reduce the SSM order of MMC. Inparticular,two reduced-order models of MMC-based HVDC grid are proposed with respect todifferent research objectives. To determine the potential minimum order ofsingle MMC or MMC-HVDC grid, the criteria including singular values (SVs) ofthe frequency response, dynamic response in time domain and the largestabsolute error of SVs are fully investigated. The simulation results of afour-terminal MMC-HVDC grid show that reduced-order models of MMC and the HVDCgrid can precisely predict both the stability and instability while the dynamiccharacteristics are retained
Keywords: Modular multilevel converter, reduced-order small-signal model, balanced realizationtheory, Hankel singular value
1. 研究背景
目前在對MMC進行系統級的小信號動態特性和穩定性分析時，一般是建立MMC的平均值數學模型，利用派克變換將該數學模型由三相坐標系變換至dq同步坐標系下，之後在系統穩態運行點處將該數學模型線性化，建立其小信號模型從而進行動態特性和穩定性分析。對於MMC平均值模型，目前有兩種建模方式，其一是將單個橋臂上所有子模塊(sub-module，SM)等效為可控電壓源[3-5]，其二是在可控電壓源的基礎上，將SM電容等效為可控電流源與等效電容的充放電迴路[6-8]。後者考慮了SM的開關效應和SM電容電壓波動特性，使系統的動態特性更為精確，但同時後者的小信號模型階數更高，分析也更為複雜，尤其是隨著直流網絡中換流站的增加，直流系統狀態變量迅速增加，系統狀態矩陣維數過大，造成整個系統的實時計算負擔增大甚至無法計算。對於基於MMC的直流電網而言，系統階數更大，仿真和實時計算負擔過大的問題更為突出
模型降階是指利用低階模型替代原高階系統模型，使得降階模型的動態特性及穩定性與原系統保持一致，從而便於系統控制器設計，參數優化等。模型降階在電氣工程的多個領域中均有應用：文獻[11]利用平衡理論對電力系統中單機無窮大系統進行了模型降階研究；文獻[12-13]對不同風力發電系統的降階模型進行了研究；文獻[14]利用奇異攝動理論針對包含電壓源型逆變器的微網模型進行了降階模型的研究；文獻[15]利用奇異攝動法對包含三相高頻脈寬調製整流器的交直流電力系統進行了降階研究，但需要對奇異攝動參數的範圍進行計算，且參數範圍越界時會導致系統降階前後穩定性的不一致。目前針對電力電子變換單元中VSC的降階研究僅限於兩電平的拓撲結構，且大部分基於奇異攝動理論，降階後模型的穩定性不能保證，而對於MMC的降階模型尚未進行研究。
2. 論文所解決的問題及意義
本文首先利用模塊化小信號建模方法的思想分別建立dq同步坐標系下考慮SM電容電壓波動特性的MMC和其控制系統的小信號模型，整合得到MMC全階小信號模型，並利用平衡理論和Hankle奇異值降階思想對MMC全階小信號模型降階的一般方法進行研究，分別給出不同外環控制方式下的MMC整流站和逆變站的降階小信號模型；提出了MMC-HVDC的組合降階模型和整體降階模型，通過在Matlab中對三端MMC-HVDC系統降階前後動態響應特性的對比，驗證降階小信號模型與詳細小信號模型的一致性，同時對控制器參數變化過程中降階前後直流系統小信號模型的不穩定特徵根軌跡進行對比，並在PSCAD/EMTDC中驗證參數變化導致的系統不穩定，證明提出的降階小信號模型在進行穩定性分析時的有效性。
3. 論文重點內容
（1） 連接交流系統的MMC系統小信號模型
1）換流器等值電路模型
圖1 連接交流系統的MMC相單元結構
由圖1可知，對於MMC上下橋臂，有：
式中：vx為變壓器閥側相電壓；VDC為直流側兩極間直流電壓；上、下橋臂電流ipx和inx分別為ipx=-idifx-ivx/2和inx=-idifx+ivx/2，其中ivx為MMC交流側相電流，idifx為相單元內部環流。
上式相加可得MMC內部環流數學模型：
上式相減可得MMC交流側電流數學模型：
對換流變壓器等效電抗，有：
式中：vtx為變壓器網側PCC處x相相電壓。
對於所連接交流系統，有：
式中vsx為交流系統等效電壓源x相相電壓。
對於PCC處連接交流濾波器，有：
2）MMC小信號模型
上式構成了三相坐標系下包含交流系統的MMC平均值動態模型，應該注意到：式中各個變量均包含時變正弦分量，為了便於建立MMC的詳細小信號模型，需要將式(1)—(9)變換到dq同步坐標系中。
以a相為例，在三相坐標系下，基頻變量和二倍頻變量可以由對應的dq同步坐標系變量表示為：
式中：下標d、q分別表示變量在基頻dq同步坐標系下的分量；下標d2、q2分別表示變量在二倍頻dq同步坐標系下的分量；qpll為鎖相環輸出相角，qpll=w0t+q0。
忽略三次和四次諧波，即可得到MMC 同步旋轉dq坐標系下微分動態方程，對該模型在某一穩態運行點處進行線性化，即可得到連接交流系統的MMC小信號模型，表達式為
其中：
3）控制系統系統小信號模型
控制系統拓撲結構如圖2所示。
圖2 MMC控制系統拓撲結構
MMC控制系統小信號模型，表達式為
其中，對於整流站：
在輸入量Duc中，DIdifd2、DIdifq2提供與MMC二倍頻環流接口，DIvd、DIvq提供與MMC交流側基頻電流接口，DVtd、DVtq提供與PCC電壓接口，DPref、DQref提供有功無功指令值接口，DVDC提供與直流網絡電壓接口。在輸出量Dyc中，DMd、DMq和DMd2、DMq2提供與MMC模型調製信號接口，Dw提供PLL角頻率接口。
逆變站控制系統小信號模型與整流站類似，只需將DxP、DPref分別替換為DxV、DVDCref即可。
（2） MMC的降階模型
1）全階小信號模型
若要對MMC小信號模型進行降階分析，需要將MMC和控制系統的小信號模型整合為包含控制系統的MMC詳細小信號模型。以整流站為例，有：
其中：
所以有：
式中：
H1=(E-Dc1Ds11)-1；H2=(E-Ds11Dc1)-1。可得：
上式即為MMC全階小信號模型，並且預留了有功和無功功率指令值接口和直流網絡的電壓輸入接口以及電流輸出接口，為方便下文分析，將上式簡寫為：
2）降階小信號模型
本文採用了基於系統內平衡理論的平衡降階方法對MMC系統進行降階。平衡理論的核心在於將原系統轉化為平衡系統，考慮MMC全階小信號模型，定義該系統的可控格拉姆陣和可觀格拉姆陣分別為
分別滿足下列李雅普諾夫方程：
若存在非奇異變換陣T，使得上式變換為
式中：
如果變換後系統滿足Wo=Wc，且為對角陣，則稱上式為MMC的平衡系統。
計算MMC全階小信號模型非奇異變換陣T的方法如下[21]：
1）根據李雅普諾夫方程求解原系統的可控格拉姆陣Wc和可觀格拉姆陣Wo。
2）對原系統的可控和可觀格拉姆陣進行Cholesky分解，即：
式中Lc、Lo分別為可控、可觀格拉姆陣下三角分解陣。
3）計算下三角分解陣的奇異值分解陣：
4）計算非奇異變換陣T：
3）不穩定降階模型
上文給出了MMC詳細小信號模型的降階方法，但這種方法只對漸進穩定系統有效，若MMC詳細小信號模型由於參數選擇不當導致存在特徵根處於右半平面，則無法對此不穩定模型進行降階。
為了解決不穩定系統的降階問題，本文採用一種基於平衡系統降階的擴展方法。當原系統有特徵根存在於右半平面時，通過引入移動因子m將系統矩陣A進行平移從而令原不穩定系統轉化為漸進穩定系統，新的漸進穩定系統系統矩陣為A-mI，進而可以得到新的漸進穩定系統的李雅普諾夫方程，如下式所示。
首先解得新漸近穩定系統的可控和可觀格拉姆陣，之後求解非奇異變換陣T，從而得到平衡系統和降階小信號模型。需要注意的是，新的漸近穩定平衡系統需要進行反向平移來得到對應原不穩定系統的平衡系統，即
4）MMC詳細小信號模型一般降階過程
通過上文對MMC全階小信號模型的建模和對MMC全階小信號模型降階方法的討論，MMC全階小信號模型的一般性降階方法如下：
1）建立連接交流系統的MMC狀態空間模型，並在穩態運行點處線性化得到其小信號模型。
2）建立MMC控制系統狀態空間模型，並在穩態運行點處線性化得到其小信號模型。
3）將MMC小信號模型和控制系統小信號模型整合為MMC全階小信號模型。
4）計算MMC全階小信號模型特徵根：若特徵根實部均位於左半平面，則小信號模型是漸進穩定的；若存在特徵根實部位於右半平面，則小信號模型是不穩定的。
5）計算MMC全階小信號模型的格拉姆陣：對於漸進穩定小信號模型，求解全階小信號模型的可控和可觀格拉姆陣；對於不穩定小信號模型，求解全階小信號模型的可控和可觀格拉姆陣。
6）求解MMC平衡系統：利用可控和可觀格拉姆陣計算非奇異變換陣T，對MMC全階小信號模型進行變換，得到MMC平衡系統。
7）求解MMC降階小信號模型：通過對MMC平衡系統Hankel奇異值的區分，消去不重要狀態變量，得到MMC降階小信號模型。
結合上述步驟可給出MMC全階小信號模型通用的降階流程圖，如圖3所示。
圖3 MMC詳細小信號模型一般降階流程圖
（3） 仿真分析
1）MMC-HVDC系統
本文以一個三端MMC柔性直流系統為研究對象，拓撲結構如圖4所示。如圖可見，直流網絡包含兩個整流站和一個逆變站，每個換流站交流側連接等效交流電壓源和等效阻抗以及交流濾波器。其中，整流站1和整流站3採用定有功功率和定無功功率的外環控制方式，逆變站2採用定直流電壓和定無功功率的外環控制方式，以對直流側提供電壓支撐。
當整流站3為主要研究對象時，整流站3採用全階小信號模型，而對整流站1和逆變站2的全階小信號模型進行降階處理，使得降階後的整流站1和逆變站2輸出量的動態響應波形和整個系統的穩定性與降階前能夠保持一致。
圖4 三端MMC柔性直流網絡
2）整流站1降階模型驗證
設定0s時三端MMC-HVDC的穩態運行工作點為P1ref=P2ref=100MW，VDCref= 100 kV，Q1ref= Q2ref=Q3ref=-50MW。在0s時對三端MMC-HVDC進行線性化得到其小信號模型並在Matlab中建立整流站1、3和逆變站2以及直流網絡的全階小信號模型。對於整流站的降階，首先需要在0s穩態運行狀態下對整流站全階小信號模型進行平衡系統的計算，得到平衡系統格拉姆陣的奇異值。
保持逆變站2和整流站3以及直流網絡為全階小信號模型，在0.2s時同時對整流站1全階小 信號模型和降階小信號模型分別施加擾動DP1ref=20MW，DVDCref=10kV，可得整流站1不同階數降階小信號模型與全階小信號模型動態響應波形對比，如圖5所示。圖5分別給出了整流站1的6、7、8階降階模型與全階小信號模型動態響應的波形對比，圖中，n1為整流站1平衡系統保留奇異值的個數，即降階小信號模型保留的階數。為了定量分析動態響應波形的一致性，本文引入Pearson相關係數來衡量不同階數降階模型與全階小信號模型動態波形的相似程度，計算公式如下：
式中：N為曲線數據點個數；xi、yi分別為兩組曲線中第i個節點數據；r為Pearson相關係數。由圖5可見，當n1=6時，電流暫態響應波形出現了較大的誤差，主要表現在高頻諧波部分幅值的增大和低頻階躍響應部分的波形誤差，原因是降階模型丟失了反映輸出波形高頻段和部分低頻段的狀態變量信息；當n1=7時，高頻諧波部分基本消失，但低頻階躍響應部分仍存在誤差；當n1=8時，降階模型與全階小信號模型輸出暫態波形基本一致，且Pearson相關係數達到0.9999左右，可以認為降階小信號模型相對詳細小信號模型是有效的，降階比率達到(22-8)/22=63.63%。
圖5 不同擾動下整流站1降階與全階小信號模型動態響應對比
3）逆變站2降階模型驗證
設定0s時三端MMC-HVDC穩態運行點與上節一致，同樣對三端MMC-HVDC進行線性化得到全階小信號模型並在Matlab中建立整流站1、3和逆變站2以及直流網絡的全階小信號模型。設n2為逆變站2平衡系統保留奇異值的個數。保持整流站1和整流站3以及直流網絡為全階小信號模型，在0.2s時同時對逆變站2全階小信號模型和降階小信號模型分別給予擾動DP1ref=20MW，DVDCref=10kV，可得逆變站2不同階數降階小信號模型與全階小信號模型動態響應波形對比，如圖6所示。
圖6 不同擾動下逆變站2降階與全階小信號模型動態響應對比
4）直流系統整體降階驗證
設定0s時三端MMC-HVDC穩態運行點與上節節相同，將整流站1與逆變站2均由降階小信號模型替代，其中整流站1降階小信號模型為8階，逆變站2降階小信號模型為12階。對直流系統分別施加擾動DP3ref=20MW，DQ3ref= 20Mvar，對比系統降階前後整流站3的動態響應波形，如圖7所示。圖7給出了直流系統降階前後不同擾動下整流站3輸出的直流電流、交流側d軸和q軸電流波形對比。由圖7可見，直流系統降階後整流站3的動態響應特性與降階前基本一致，證明了整流站1和逆變站2同時降階後的直流降階網絡與降階前同樣具有一致性，降階前三端MMC- HVDC系統階數為71，降階後為47，降階比率為33.8%，並且隨著直流系統中MMC換流站的增多，降階效果將更加明顯。
圖7 直流系統降階前後整流站3動態響應對比
4. 結論
本文以考慮交流網絡，子模塊電容電壓波動，二倍頻環流的MMC平均值模型為基礎，推導了包含控制系統的MMC22階全階小信號模型，並以此為基礎，給出了利用平衡理論和Hankel奇異值降階思想對整流站和逆變站的全階小信號模型進行降階的一般方法，並考慮了處於不穩定狀態下降階小信號模型的實現方式。該降階方法同樣適用於不考慮子模塊電壓波動的MMC受控源平均值模型的降階。
通過Matlab中對整流站和逆變站的全階小信號模型與降階小信號模型的動態響應對比，分別建立了有效的8階整流站降階小信號模型和12階逆變站降階小信號模型。直流系統降階前後的動態特性對比驗證了MMC全階小信號模型降階方法的通用性和降階小信號模型的有效性，不穩定特徵根軌跡對比表明降階後系統根軌跡同樣能夠對系統小信號穩定性進行分析，並能準確反映全階系統失穩狀態下振蕩周期。
降階前後直流系統小信號模型的動態響應波形與不穩定特徵根軌跡的對比表明，進行大規模柔性直流電網小信號模型動態響應和穩定性分析時，對非主要研究換流站詳細小信號模型用降階小信號模型替代，在準確反映原系統小信號動態特性及穩定性的同時，能夠降低模型複雜度，減少模型的仿真時間。
引文信息：
Hao Q., Li Z., Gao F, Zhang J. Reduced-order small-signalmodels of modular multilevel converter and MMC-base HVDC grid [J]. IEEETransaction on Industrial Electronics, 2019, 66(3): 2257-2268.
作者信息：
郝全睿，男，副研究員，主要研究方向：MMC、直流輸電、FACTS、交直流混合電網.
haoquanrui@sdu.edu.cn。
李正，男，研究生，研究方向：MMC、直流輸電。
edward54@qq.com。
高峰，男，教授，博導，研究方向：新能源併網。
張靜，男，博士，研究方向：交直流系統分析與控制。