2021研究生入學考試考研數學試卷（數學一）
一、選擇題：1～10小題，每小題5分，共50分．下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上．
1. 在處
（A）連續且取得極大值 （B）連續且取得極小值
（C）可導且導數為零 （D）可導且導數不為零
2. 設函數可微，且，，則
（A） （B） （C） （D）
3. 設函數在處的3次泰勒多項式為，則
（A） （B）
（C） （D）
4. 設函數在區間上連續，則
（A） （B）
（C） （D）
5. 二次型的正慣性指數和負慣性指數依次為
（A） 2,0 （B）1,1 （C）2,1 （D）1,2
6. 已知記若兩兩正交，則依次為
（A） （B） （C） （D）
7. 設為階實矩陣，下列不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
8. 設為隨機事件，且，下列為假命題的是
（A）若,則
（B）若,則
（C）若,則
（D）若,則
9. 設為來自總體的簡單隨機樣本，令,則
（A）是的無偏差估計，
（B）不是的無偏差估計，
（C）是的無偏差估計，
（D）不是的無偏差估計，
10. 設是來自總體簡單隨機樣本，考慮假設檢驗問題：表示標準正太分布函數，若該檢驗問題的拒絕域為,其中，則，該檢驗犯第二類錯誤的概率為
（A） （B） （C） （D）
二、填空題：11～16小題，每小題5分，共30分．請將答案寫在答題紙指定位置上．
11.
12. 設函數由參數方程確定，則
13. 歐拉方程滿足條件的解為
14. 設為空間區域表面的外側，則曲面積分
15. 設為3階矩陣，為代數餘子式，若的每行元素之和均為2，且，則
16. 甲、乙兩個盒子中有2個紅球和2個白球，選取甲盒中任意一球，觀察顏色後放入乙盒，再從乙盒中任取一球，令分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球的個數，則與的相關係數為
三、解答題：17～22小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答案寫在答題紙指定位置上．
17. （本題滿分10分）
求極限
18. （本題滿分12分）
設，求級數的收斂域及和函數.
19. （本題滿分12分）
已知曲線求上的點到坐標面距離的最大值.
20. （本題滿分12分）
設是有界單連通區域，取得最大值的積分區域記為
(1) 求的值.
(2) 計算，其中是的正向邊界
21. 設矩陣
（1） 求正交矩陣,使為對角矩陣
（2） 求正定矩陣,使,為3階單位矩陣.
22. 在區間上隨機取一點,將該區間分成兩段,較短一段的長度記為,較長一段的長度記為.令.
(1) 求的概率密度;(2)求的概率密度;(3)求.
2021考研數學試卷答案速查（數學一）
一、選擇題
（1）（D） （2）（C） （3）（A） （4）（B） （5）（B）
（6）（A） （7）（C） （8）（D） （9）（C） （10）（B）
二、填空題
（11） （12） （13）
（14） （15） （16）
三、解答題
（17）原式（2分）
（4分）
（7分）
（9分）
（10分）
（18）
（1） 設，，則
收斂區間為，收斂區間為（3分）
時，，級數發散
時，，級數收斂
所以級數的收斂域為.（4分）
（2）（6分）
則
，因為，所以
，因為，所以（9分）
因此時，
當時，和函數連續，所以
所以，（12分）
（19） 根據題意，目標函數為，約束條件是以及（2分）
設
（6分）
解得或者（10分）
，
因此距離的最大值為（12分）
（20）
（1）根據題意，易知
（4分）
（2）
補充曲線（順時針方向）
由高斯公式可知，
其中為和圍成的封閉區域.（8分）
根據高斯公式
其中是圍成的封閉區域.
所以（12分）
（21）
（1）
令，解得（2分）
，解得
，解得（4分）
將進行施密特正交化可得（6分）
將單位化，可得
可得正交矩陣，使（8分）
(2)因為可知，
因為為正定矩陣，所以
（12分）
（22）
易知,且在上服從均勻分布;
（Ⅰ）的概率密度. (4分)
（Ⅱ）的分布函數:
時,;時, ;
的概率密度為. (8分)
（Ⅲ）