【仿真百科】傳熱方程和能量方程

2021-02-08 COMSOL
傳熱方程和能量方程

熱力學第一定律將內能定義表述為：封閉系統的內能變化 ΔU 等於系統吸收的熱量 Q 減去系統所做的功 W：

(35)  

如果系統可以運動，則方程（35）可以擴展為包含系統動能 ：

(36)  

溫度變化方程可以用來預測散熱器中的溫度分布。此類分析可用於研究電子散熱、設計散熱器以及確定如何在某個過程中進行冷卻。

(37)


結果稱為總內能守恆方程，（參考文獻 4）。此方程中：

ρ 是密度

e 是單位質量內能

v 是速度矢量

v2 是速度大小的平方

q 是傳導熱通量矢量

σ 是總應力張量

F 是單位質量的體力，如體積力

將方程（37）簡化為內能守恆方程：


(38)  

其中， 是壓力， 是黏性應力張量（見方程（30））。

一種更方便的表示能量守恆的方式是根據溫度重寫方程（38）。溫度可以通過測量得到，因此工程師們更習慣於使用溫度，而不是內能。這可以通過使用以下熱力學關係來實現：

(39)  

再次使用連續性方程插入傅立葉定律，執行一些代數操作後可得：

(40)

上式右側添加了最後一項 ，用於表示由反應或與輻射相互作用等產生的內熱源。

方程（40）描述流體中的能量守恆。相應的固體的能量守恆方程可以根據熱力學第一定律（方程（35））推導而來。結果寫為

(41)  

其中， 是熱膨脹係數張量； 是應力張量的時間導數； 是應變率張量； 表示所有可能的非彈性應力（如黏性應力）。


項  稱為熱彈性阻尼，對應於方程（40）中的壓力功 。項  表示黏性加熱，是方程（40）中  項的固體表示。可以明顯地看出，這些能量守恆方程的密切相似性源於這樣一個事實：它們都描述相同的基本守恆原理。

傳熱方程在所有物理和工程領域有著廣泛的應用。有時，熱量是某個過程的目標產物，但在許多情況下，是過程的副產物，必須通過冷卻進行消散。下圖中，由反應熱（燃燒）產生的氣體膨脹將太空梭推向太空。在上圖中，顯示了一個用於電子冷卻的散熱器，必須消除電子電路上的熱量，才能使其正常工作。

反應熱：「發現號」太空梭於 1997 年從美國國家航空航天局甘迺迪航天中心發射升空。圖片來自公共領域，通過 Wikimedia Commons 共享。

參考文獻


Y.C. Fung, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall Inc., 1965

R.D. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot,Transport Phenomena, 2nd ed., NY: John Wiley & Sons Inc., 2002.




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