這事還得從歐幾裡得開始說起。
閒暇時候，一次偶然的機會讓我接觸到了摺紙幾何（Origamics）這塊新奇的數學領域，學習之餘不禁感嘆，原來真的有人把摺紙這件事研究到了骨子裡。如果把歐式幾何的奠基之作《幾何原本》比做是幾何學的一處根基，那麼摺紙幾何學就是這棵樹上開出的一朵奇葩。
Ornamental Omega | Credit: Meenakshi Mukerji
就像傳統幾何學對應了尺規作圖 (ruler and compass construction)一樣，摺紙幾何學引導我們找到了另一種基礎作圖的方法——摺紙作圖。
和它的名字一樣，我們的工具就是一張白紙，大多時候是一張1×1的白紙，除此之外再無其它。與尺規作圖比起來，摺紙作圖好像更加極致，乾脆把尺子和圓規都扔了，甚至連筆也不給你，只留下一張白紙，你竟然還指望我作什麼圖出來？
然而正是這種「比原始更原始」的辦法，解決了尺規作圖也搞不定的數學問題。
Truncated Icosahedron | Credit: ServeSmasher
三大難題
眾所周知，傳統的尺規作圖並不是萬能的。在《初等幾何的著名問題》一書中，數學家F.Klein就詳細講述了初等幾何的三大難題：
1. 倍立方問題。又叫Delian 問題，是一個非常古老的幾何問題。它說的是：如何準確作出一個體積為2的立方體。其實就是要找到長度x，讓
即
但是，要找到，僅憑尺規作圖是不可能完成的。你也許會想，是不是我們還不夠聰明，沒有找到作圖的辦法呢？並不是這樣，實際上數學家早就已經嚴格證明了這種不可能性，這個任務是從理論層面上就不可能完成的。
體積為1的正方體，和體積為2的正方體
我們發現，要準確地作出這個數，我們需要一個可以移動的直角刻度尺，這種用直角尺作圖的方法叫做二刻尺作圖（Neusis construction）。再看看我們的主題，思考一下。是的！我們手上這張1×1的白紙，就正好就有這樣一個直角。用摺紙的方法，我們可以輕易得到兩條線段，讓它們的比值正好等於。
取1×1的白紙，橫向三等分，摺疊讓Q點落在邊L上，P點落在摺痕K上，這時x/y= | Credit：Mathematical Origami by Philipp Legner
2. 三等分角問題。顧名思義，它說的是：如何準確地把一個任意角度三等分。
同樣地，傳統尺規作圖又一次敗下陣來，但是用一張1×1的白紙，你卻可以簡單地得到一條過角頂點的射線，它對應的就是原始角度的三分之一。
對角度α，取1×1的白紙，橫向四等分，摺疊讓P點落在摺痕K上，Q點落在L上。這時，延長摺痕K得到射線M，M與L形成的角度是α的1/3 | Credit：Mathematical Origami by Philipp Legner
3. 最後一個難題是化圓為方問題，它說的是：作出一個正方形，它的面積等於給定的圓的面積。
這個問題同樣困擾了全世界上千年，當人們還在為它的可行性爭論不休的時候，1882年，德國數學家林德曼（Lindemann 1852~1939）證明了圓周率 π 的超越性（不滿足任何整係數(有理係數)多項式方程的實數）。尺規作圖局限於加減乘除和開方運算，對於超越數顯然是無能為力的。
圓形和正方形有相同的面積 | Credit: Wiki
這下可好，回到化圓為方問題裡，由於涉及到超越數（transcendentalnumber）π，傳統的尺規作圖和摺紙作圖必定無法解決，持續了上千年的爭論終於塵埃落定。
如果真要解決這一問題，我們需要藉助更加「先進」的阿基米德螺線才行了。
正多邊形問題
另一個有意思的話題是關於正多邊形的。
用傳統尺規作圖的辦法，我們可以畫出標準的正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形，正八邊形等等。Rex還隱約記得初中時候，數學老師曾說他的朋友研究出了尺規作出正十七邊形的辦法，查閱資料之後卻發現，早在1796年，高斯就已經給出了正十七邊形的尺規作圖步驟，還順帶證明了哪些正多邊形可以用尺規作圖完成。不得不叫人感嘆數學王子的偉大。
正十七邊形尺規作圖簡圖
根據證明，角度刁鑽的正七邊形是沒有辦法用尺規作圖畫出來的，因為它的邊長涉及到常數sin(π/7)，和一樣，這是一個需要用三次方根來表示的數。那麼，摺紙作圖可以解決這一難題嗎？答案是肯定的。
雖然摺紙作圖可以表達出三次方根的數，但是要想得到完整的正七邊形也絕非易事。摺紙的過程之複雜，簡直是Rex這種手殘黨的噩夢，大概我把紙折爛了也得不到那個完美的正七邊形吧。
下面貼上折正七邊形的步驟，勇士們可以自行嘗試。
正七邊形的折法
這裡還有簡單的，其他正多邊形的折法：
正六邊形的折法
正五邊形的折法
正三角形的折法
你能給出它們的證明嗎？
看一段摺紙gif放鬆一下~
##話外音：
高斯證明，尺規作圖只能作出正n邊形，這裡n是費馬質數，即n＝2^(2^k)+1。
要知道，17之後的費馬質數就是257和65537，歷史上也真的有人用尺規作出了正257邊形，步驟寫出來有80多頁；而正65537邊形，一位叫做 Johann Gustav Hermes 的人花了10年時間才首次完成了作圖步驟，其手稿加起來共有200餘頁。
參考資料：
https://mathigon.org/downloads/origami.pdf
http://www.matrix67.com/blog/archives/4152
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding#Huzita–Hatori_axioms