微分學是由艾薩克·牛頓和萊布尼茨分別獨立發明的,人們認為n階導數的概念,即連續應用微分運算n次,是有意義的。在1695年的一封信中,洛必達問萊布尼茨,n可能不是整數,比如n=1/2。萊布尼茨回應說:「這將導致一個悖論,總有一天會從中得出有用的結論。」萊布尼茨是對的,但直到幾個世紀以後,人們才弄清楚他究竟有多正確。
這篇文章將會探討像求1/2階導數這樣的問題,並介紹分數階微積分的理論。
直覺
有兩種方式來解釋這個表達
第一個是我們在基礎微積分中都學過的:它是我們反覆微分n次後得到的函數。第二個更微妙:我們把它解釋為一個操作符,它對函數f(t)的作用是由參數n決定的。
最自然的回答這個問題的方法是把微分和積分解釋為把f變成一個新函數的變換。因此,我們要尋找一個算子可以連續地將f變換成它的n階導數或不定積分。
分數積分和導數
要開始研究分數階微分和積分算子,最自然的方法是使用一個叫做柯西重複積分公式的公式。如果我們反覆求一個函數的n階不定積分,那麼結果是:
階乘函數的泛化是函數。如果我們注意Γ(n) = (n - 1) !那麼推廣柯西公式以包含實數階α(嚴格大於零)的一種明顯方法是:
實際上,對於分數階積分,這是一個有效的運算符。它叫做左黎曼-劉維爾積分。我們稍後將討論「左」限定詞的用途。事實上,在文獻中有許多不同的分數階積分算子,但R-L積分是最簡單、最容易使用和理解的。注意,α可能也很複雜,實部嚴格大於零,為簡單起見,我們將假定α為實數。。α= 1/2的特殊情況叫做半積分。
R-L積分遵循以下重要關係:
有人可能會天真地認為我們已經完成,我們可以簡單地定義分式微分:
不是這樣的。問題是函數不是為0或負整數定義的,這將留給我們一個一般化的微分運算它,甚至不適用於一般的微分運算!我們必須有創造性地找到解決辦法。
我們首先注意到,在對n次積分後對n次求導等價於恆等運算:
這意味著導數是積分的左逆。然而,積分不是導數的左逆,因為積分加上了一個任意常數。也就是說,一般來說,以下說法是不正確的:
有鑑於此,我們期待分數階導數α的性質:
顯然,我們也希望能夠把分數階導數寫成我們理解的算子的形式。我們理解了對整數階的微分以及對整數階和非整數階的積分。我們可以從這些組件操作符中構造出一個具有所需的左消屬性的操作符:
α稱為α 的上限函數,是將α捨入到下一個整數的結果。我們發現這實際上是正確的運算符,並將其完整寫出如下所示:
這是左黎曼-劉維爾分數階導數。人們可以清楚地理解為什麼這個領域的研究花了近300年才有所進展:如果沒有計算機的幫助,用分數微積分進行的大多數計算即使不是完全難以處理的,也是乏味的。
利用我們提出的分數積分和導數,我們現在可以把它們分段組合起來定義微分算子:
以下動畫顯示了黎曼-利維爾微分積分如何在函數f(x)= x,f(x)= 1和f(x)=(1/2)x之間連續轉換:
圖片來源:維基共享觀察從-1到1的α值,綠色曲線所示的微積分如何在y = 1和y =(1/2)x曲線之間擺動。
屬性
很好奇,總是想知道當嘗試做一些奇怪的事情時會發生什麼,例如插入一個分數以區分順序,因為這當然會產生許多重要的發現,但是當進入未知領域時,應該做好準備放棄您已經知道的許多知識,並視其為自然而顯而易見的東西。
這基本上是一種老生常談的說法,很多我們都熟悉普通導數和積分的基本性質,比如鏈式法則和乘積法則,在一般情況下不適用於分數階導數和積分,或者它們具有複雜的形式。但是,我們討論的RL積分和導數並不是唯一可能的差分積分算子,實際上,存在一個以不同方式將微分和積分泛化為非整數階的整個方法,並且可以通過保留許多經典特性。但是,我們在本文中將重點放在RL運算符上,因為它們以及密切相關的Caputo運算符,是最容易理解的應用程式,也是最常見的應用程式。
RLFD的另一個有趣的特性是非局部性。當我們計算一個整數階導數在某一點的值時,結果值只依賴於該點。這個看起來很明顯的屬性叫做局部性。分數階導數就不一樣了。分數階導數是通過對整個取值範圍內的積分得到的,積分的下界有一個非平凡的依賴關係,所以我們應該把分數階導數恰當地寫成:
在分析物理系統時a = 0的情況很常見,因為因變量通常是時間,並且任何給定時間的分數導數將取決於以前所有時間的系統狀態,即從在t = 0時開始實驗。
這種非定域性是分數階微積分在應用中的主要驅動因素之一。有許多有趣的物理現象具有所謂的記憶效應,這意味著它們的狀態不僅取決於時間和位置,還取決於先前的狀態。例如,我們可以想像一個電路元件,它的電阻取決於在一段固定時間內通過它的所有電荷。具有記憶效應的系統很難用經典微分方程進行建模和分析,但是非定域性賦予了分數階導數一種內置的能力來整合記憶效應。分數階微積分可以證明是一個非常有用的工具來分析這類系統。
非局部性也是我們在討論左RLFD時必須小心的原因。你也可以改變積分的順序來定義正確的分數階導數:
右邊的RLFD與左邊的完全不同,儘管外觀相似。正確的分數階導數還沒有被研究得那麼多,它們在應用環境中也沒有那麼有用。要理解其中的原因,請考慮左RLFD中的非定域性屬性意味著什麼:它意味著物理系統的狀態依賴於它以前的狀態。如果一個正確的RLFD描述了一個物理系統,那麼該系統在給定時間的狀態將取決於它的未來狀態,這在物理上是不合理的。由於分數階微積分的研究大多集中在應用上,所以目前理論界對分數階導數最感興趣。
一些基本函數的分數階導數
對於n≥0的冪函數,其分數階導數為:
通過檢查n = 0的情況,我們可以看到,這意味著常數的分數導數令人驚訝地不為零。f(t)=1的半正則性為常數,值得記憶,由:
對於正弦函數:
這種情況最有力地支持了我們的觀點,即分數階導數可以看作是函數與其導數之間的變換。α的變化只是導致階段推進,直到在α= 1,我們得到餘弦函數。
最後,對於指數函數:
和正弦函數一樣,這正是我們所期望的。
解釋
現在還不清楚我們應該如何從幾何和物理上解釋分數算子,就像我們在經典微積分中解釋算子一樣。這是一個活躍的研究領域,當這個問題得到解決,它可能會在物理和工程領域產生偉大的成果。
同時,最簡單的方法是採用Oliver Heaviside在開發運算演算時遇到小數運算符時所採用的方法:僅接受它們本身就是一類對象並且遵循特定的集合規則,如果您碰巧遇到了遵循這些規則的事物,或者需要遵循某些特定規則的事物,那麼您就知道要尋找什麼。
等時曲線的問題
尼爾斯·阿貝爾(1802-1829)被普遍認為是第一個提出分數微積分基本思想的數學家,當時他正在分析同步性問題。等時曲線問題要求一個人構造一條曲線,其特性是當珠子沿曲線下滑時,到達曲線底部的時間與初始高度無關。
阿貝爾用基本的物理推理得出了以下積分方程,它將到達曲線底部的時間與初始高度聯繫起來:
其中s為求解該問題的曲線的弧長參數化。我們需要解出ds/dy的方程。我們可以用卷積和拉普拉斯變換來解決這個問題,就像阿貝爾做的那樣。或者,我們可以簡化所有操作,並認識到右側的表達式可以除以Γ(1/2)=根號π,以將其轉換為半整數。將該等式的兩邊除以根號π,然後將根號(2g)向左移動,得到T(y0)= T0,因為下降時間相對於初始高度是恆定的:
我們知道如何消去半積分算子。只要對等式兩邊取半循環,問題就立刻得到解決:
由這個方程(順便說一句,它是一個擺線)所描述的曲線稱為自整時曲線。
這個問題說明了當前情況下分數微積分的主要用例。通常情況下,當我們分析一個系統時我們會碰巧遇到一個數學命題它恰好是一個分數算子因此我們知道我們可以把分數算子的規則應用到那個系統上。
結論
在數學和科學領域取得發現的最好方法之一,就是看看當我們試圖讓現有的理論在極端或不尋常的情況下發揮作用,從而打破常規時,會發生什麼。通常這是行不通的,因為有時規則的存在是有原因的,但有時當我們問一個荒謬的問題時,我們會得到一個很好的答案。和往常一樣,我很感激你的指正。