雷鋒網 AI 科技評論按，本文作者張皓，目前為南京大學計算機系機器學習與數據挖掘所（LAMDA）碩士生，研究方向為計算機視覺和機器學習，特別是視覺識別和深度學習。
個人主頁：http://lamda.nju.edu.cn/zhangh/。該文為其給雷鋒網(公眾號：雷鋒網) AI 科技評論的獨家供稿，未經許可禁止轉載。
摘要
支持向量機 (SVM) 是一個非常經典且高效的分類模型。但是，支持向量機中涉及許多複雜的數學推導，並需要比較強的凸優化基礎，使得有些初學者雖下大量時間和精力研讀，但仍一頭霧水，最終對其望而卻步。本文旨在從零構建支持向量機，涵蓋從思想到形式化，再簡化，最後實現的完整過程，並展現其完整思想脈絡和所有公式推導細節。本文力圖做到邏輯清晰而刪繁就簡，避免引入不必要的概念、記號等。此外，本文並不需要讀者有凸優化的基礎，以減輕讀者的負擔。對於用到的優化技術，在文中均有介紹。
儘管現在深度學習十分流行，了解支持向量機的原理，對想法的形式化、簡化，及一步步使模型更一般化的過程，及其具體實現仍然有其研究價值。另一方面，支持向量機仍有其一席之地。相比深度神經網絡，支持向量機特別擅長於特徵維數多於樣本數的情況，而小樣本學習至今仍是深度學習的一大難題。
1. 線性二分類模型
給定一組數據，其中，二分類任務的目標是希望從數據中學得一個假設函數 h: R → {−1,1}，使得 h(xi) =yi，即
用一個更簡潔的形式表示是
更進一步，線性二分類模型認為假設函數的形式是基於對特徵 xi 的線性組合，即
定理 1. 線性二分類模型的目標是找到一組合適的參數 (w, b)，使得
即，線性二分類模型希望在特徵空間找到一個劃分超平面，將屬於不同標記的樣本分開。
證明.
2. 線性支持向量機
線性支持向量機 (SVM) [4]也是一種線性二分類模型，也需要找到滿足定理 1 約束的劃分超平面，即 (w, b)。由於能將樣本分開的超平面可能有很多，SVM 進一步希望找到離各樣本都比較遠的劃分超平面。
當面對對樣本的隨機擾動時，離各樣本都比較遠的劃分超平面對擾動的容忍能力比較強，即不容易因為樣本的隨機擾動使樣本穿越到劃分超平面的另外一側而產生分類錯誤。因此，這樣的劃分超平面對樣本比較穩健，不容易過擬合。另一方面，離各樣本都比較遠的劃分超平面不僅可以把正負樣本分開，還可以以比較大的確信度將所有樣本分開，包括難分的樣本，即離劃分超平面近的樣本。
2.1 間隔
在支持向量機中，我們用間隔 (margin) 刻畫劃分超平面與樣本之間的距離。在引入間隔之前，我們需要先知道如何計算空間中點到平面的距離。
定義 1 (間隔 γ ). 間隔表示距離劃分超平面最近的樣本到劃分超平面距離的兩倍，即
也就是說，間隔表示劃分超平面到屬於不同標記的最近樣本的距離之和。
定理 3. 線性支持向量機的目標是找到一組合適的參數(w, b)，使得
即，線性支持向量機希望在特徵空間找到一個劃分超平面，將屬於不同標記的樣本分開，並且該劃分超平面距離各樣本最遠。
證明. 帶入間隔定義即得。
2.2 線性支持向量機基本型
定理 3 描述的優化問題十分複雜，難以處理。為了能在現實中應用，我們希望能對其做一些簡化，使其變為可以求解的、經典的凸二次規劃 (QP) 問題。
定義 2 (凸二次規劃). 凸二次規劃的優化問題是指目標函數是凸二次函數，約束是線性約束的一類優化問題。
由於對 (w, b) 的放縮不影響解，為了簡化優化問題，我們約束 (w, b) 使得
推論 6. 線性支持向量機基本型中描述的優化問題屬於二次規劃問題，包括 d + 1 個優化變量，m 項約束。
證明. 令
代入公式 10 即得。
3. 對偶問題
現在，我們可以通過調用現成的凸二次規劃軟體包來求解定理 5 描述的優化問題。不過，通過藉助拉格朗日 (Lagrange) 函數和對偶 (dual) 問題，我們可以將問題更加簡化。
3.1 拉格朗日函數與對偶形式
構造拉格朗日函數是求解帶約束優化問題的重要方法。
證明.
推論 8 (KKT 條件). 公式 21 描述的優化問題在最優值處必須滿足如下條件。
證明. 由引理 7 可知，u 必須滿足約束，即主問題可行。對偶問題可行是公式 21 描述的優化問題的約束項。αigi(u) = 0 是在主問題和對偶問題都可行的條件下的最大值。
定義 4 (對偶問題). 定義公式 19 描述的優化問題的對偶問題為
引理 10 (Slater 條件). 當主問題為凸優化問題，即 f 和 gi 為凸函數，hj 為仿射函數，且可行域中至少有一點使不等式約束嚴格成立時，對偶問題等價於原問題。
證明. 此證明已超出本文範圍，感興趣的讀者可參考 [2]。
3.2 線性支持向量機對偶型
線性支持向量機的拉格朗日函數為
證明. 因為公式 26 內層對 (w,b) 的優化屬於無約束優化問題，我們可以通過令偏導等於零的方法得到 (w,b)的最優值。
將其代入公式 26，消去 (w, b)，即得。
推論 13. 線性支持向量機對偶型中描述的優化問題屬於二次規劃問題，包括 m 個優化變量，m + 2 項約束。
證明. 令
代入公式 10 即得。其中，ei 是第 i 位置元素為 1，其餘位置元素為 0 的單位向量。我們需要通過兩個不等式約束和來得到一個等式約束。
3.3 支持向量
定理 14 (線性支持向量機的 KKT 條件). 線性支持向量機的 KKT 條件如下。
代入引理 8 即得。
定義 5 (支持向量). 對偶變量 αi > 0 對應的樣本。
引理 15. 線性支持向量機中，支持向量是距離劃分超平面最近的樣本，落在最大間隔邊界上。
定理 16. 支持向量機的參數 (w, b) 僅由支持向量決定，與其他樣本無關。
證明. 由於對偶變量 αi > 0 對應的樣本是支持向量，
其中 SV 代表所有支持向量的集合，b 可以由互補鬆弛算出。對於某一支持向量 xs 及其標記 ys，由於
實踐中，為了得到對 b 更穩健的估計，通常使用對所有支持向量求解得到 b 的平均值。
推論 17. 線性支持向量機的假設函數可表示為
證明. 代入公式 35 即得。
4. 核函數
至此，我們都是假設訓練樣本是線性可分的。即，存在一個劃分超平面能將屬於不同標記的訓練樣本分開。但在很多任務中，這樣的劃分超平面是不存在的。支持向量機通過核技巧 (kernel trick) 來解決樣本不是線性可分的情況 [1]。
4.1 非線性可分問題
既然在原始的特徵空間不是線性可分的，支持向量機希望通過一個映射，使得數據在新的空間是線性可分的。
引理 18. 當 d 有限時，一定存在，使得樣本在空間中線性可分.
證明. 此證明已超出本文範圍，感興趣的讀者可參考計算學習理論中打散 (shatter) 的相應部分 [16]。
令 φ(x) 代表將樣本 x 映射到中的特徵向量，參數 w 的維數也要相應變為維，則支持向量機的基本型和對偶型相應變為：
其中，基本型對應於+ 1 個優化變量，m 項約束的二次規劃問題；對偶型對應於 m 個優化變量，m + 2 項約束的二次規劃問題。
4.2 核技巧
注意到，在支持向量機的對偶型中，被映射到高維的特徵向量總是以成對內積的形式存在，即
如果先計算特徵在空間的映射，再計算內積，複雜度是。當特徵被映射到非常高維的空間，甚至是無窮維空間時，這將會是沉重的存儲和計算負擔。
核技巧旨在將特徵映射和內積這兩步運算壓縮為一步, 並且使複雜度由降為。即，核技巧希望構造一個核函數 κ(xi,xj)，使得，並且 κ(xi,xj) 的計算複雜度是。
4.3 核函數選擇
通過向高維空間映射及核技巧，我們可以高效地解決樣本非線性可分問題。但面對一個現實任務，我們很難知道應該具體向什麼樣的高維空間映射，即應該選什麼樣的核函數，而核函數選擇的適合與否直接決定整體的性能。
表 1 列出了幾種常用的核函數。通常，當特徵維數 d 超過樣本數 m 時 (文本分類問題通常是這種情況)，使用線性核；當特徵維數 d 比較小，樣本數 m 中等時，使用 RBF 核；當特徵維數 d 比較小，樣本數 m 特別大時，支持向量機性能通常不如深度神經網絡。
除此之外，用戶還可以根據需要自定義核函數，但需要滿足 Mercer 條件 [5]。
反之亦然。
新的核函數還可以通過現有核函數的組合得到，使用多個核函數的凸組合是多核學習 [9] 的研究內容。
4.4 核方法
上述核技巧不僅使用於支持向量機，還適用於一大類問題。
即 Φα 比 w 有更小的目標函數值，說明 w 不是最優解，與假設矛盾。因此，最優解必定是樣本的線性組合。
此外，原版表示定理適用於任意單調遞增正則項 Ω(w)。此證明已超出本文範圍，感興趣的讀者可參考 [13]。
表示定理對損失函數形式沒有限制，這意味著對許多優化問題，最優解都可以寫成樣本的線性組合。更進一步，將可以寫成核函數的線性組合
通過核函數，我們可以將線性模型擴展成非線性模型。這啟發了一系列基於核函數的學習方法，統稱為核方法 [8]。
5. 軟間隔
不管直接在原特徵空間，還是在映射的高維空間，我們都假設樣本是線性可分的。雖然理論上我們總能找到一個高維映射使數據線性可分，但在實際任務中，尋找到這樣一個合適的核函數通常很難。此外，由於數據中通常有噪聲存在，一味追求數據線性可分可能會使模型陷入過擬合的泥沼。因此，我們放寬對樣本的要求，即允許有少量樣本分類錯誤。
5.1 軟間隔支持向量機基本型
我們希望在優化間隔的同時，允許分類錯誤的樣本出現，但這類樣本應儘可能少：
其中，是指示函數，C 是個可調節參數，用於權衡優化間隔和少量分類錯誤樣本這兩個目標。但是，指示函數不連續，更不是凸函數，使得優化問題不再是二次規劃問題。所以我們需要對其進行簡化。
公式 60 難以實際應用的原因在於指示函數只有兩個離散取值 0/1，對應樣本分類正確/錯誤。為了能使優化問題繼續保持為二次規劃問題，我們需要引入一個取值為連續值的變量，刻畫樣本滿足約束的程度。我們引入鬆弛變量 (slack variable) ξi，用於度量樣本違背約束的程度。當樣本違背約束的程度越大，鬆弛變量值越大。即，
其中，C 是個可調節參數，用於權衡優化間隔和少量樣本違背大間隔約束這兩個目標。當 C 比較大時，我們希望更多的樣本滿足大間隔約束；當 C 比較小時，我們允許有一些樣本不滿足大間隔約束。
5.2 軟間隔支持向量機對偶型
定理 25 (軟間隔支持向量機對偶型). 軟間隔支持向量機的對偶問題等價於找到一組合適的 α，使得
因為內層對 (w, b, ξ) 的優化屬於無約束優化問題，我們可以通過令偏導等於零的方法得到 (w, b, ξ) 的最優值。
推論 26. 軟間隔支持向量機對偶型中描述的優化問題屬於二次規劃問題，包括 m 個優化變量，2m+2 項約束。
5.3 軟間隔支持向量機的支持向量
定理 27 (軟間隔支持向量機的 KKT 條件). 軟間隔支持向量機的 KKT 條件如下.
引理 28. 軟間隔支持向量機中，支持向量落在最大間隔邊界，內部，或被錯誤分類的樣本。
定理 29. 支持向量機的參數 (w, b) 僅由支持向量決定，與其他樣本無關。
證明. 和線性支持向量機證明方式相同。
5.4 鉸鏈損失
引理 30. 公式 61 等價為
其中，第一項稱為經驗風險，度量了模型對訓練數據的擬合程度；第二項稱為結構風險，也稱為正則化項，度量了模型自身的複雜度。正則化項削減了假設空間，從而降低過擬合風險。λ 是個可調節的超參數，用於權衡經驗風險和結構風險。
6. 優化方法
6.1 SMO
如果直接用經典的二次規劃軟體包求解支持向量機對偶型，由於的存儲開銷是，當訓練樣本很多時，這將是一個很大的存儲和計算開銷。序列最小化 (SMO) [10]是一個利用支持向量機自身特性高效的優化算法。SMO 的基本思路是坐標下降。
定義 7 (坐標下降). 通過循環使用不同坐標方向，每次固定其他元素，只沿一個坐標方向進行優化，以達到目標函數的局部最小，見算法 1.
我們希望在支持向量機中的對偶型中，每次固定除αi 外的其他變量，之後求在 αi 方向上的極值。但由於約束，當其他變量固定時，αi 也隨著確定。這樣，我們無法在不違背約束的前提下對 αi 進行優化。因此，SMO 每步同時選擇兩個變量 αi 和 αj 進行優化，並固定其他參數，以保證不違背約束。
定理 32 (SMO 每步的優化目標). SMO 每步的優化目標為
推論 33. SMO 每步的優化目標可等價為對 αi 的單變量二次規劃問題。
證明. 由於，我們可以將其代入 SMO每步的優化目標，以消去變量 αj。此時，優化目標函數是對於 αi 的二次函數，約束是一個取值區間 L ≤ αi ≤H。之後根據目標函數頂點與區間 [L, H] 的位置關係，可以得到 αi 的最優值。理論上講，每步優化時 αi 和 αj 可以任意選擇，但實踐中通常取 αi 為違背 KKT 條件最大的變量，而 αj取對應樣本與 αi 對應樣本之間間隔最大的變量。對SMO 算法收斂性的測試可以用過檢測是否滿足 KKT條件得到。
6.2 Pegasos
我們也可以直接在原問題對支持向量機進行優化，尤其是使用線性核函數時，我們有很高效的優化算法，如 Pegasos [14]。Pegasos 使用基於梯度的方法在線性支持向量機基本型
進行優化，見算法 2。
6.3 近似算法
當使用非線性核函數下的支持向量機時，由於核矩陣，所以時間複雜度一定是，因此，有許多學者致力於研究一些快速的近似算法。例如，CVM [15]基於近似最小包圍球算法，Nyström 方法[18]通過從 K 採樣出一些列來得到 K的低秩近似，隨機傅立葉特徵[12]構造了向低維空間的隨機映射。本章介紹了許多優化算法，實際上現在已有許多開源軟體包對這些算法有很好的實現，目前比較著名的有LibLinear[7] 和 LibSVM[3]，分別適用於線性和非線性核函數。
7. 支持向量機的其他變體
ProbSVM. 對數機率回歸可以估計出樣本屬於正類的概率，而支持向量機只能判斷樣本屬於正類或負類，無法得到概率。ProbSVM[11]先訓練一個支持向量機，得到參數 (w, b)。再令，將當做新的訓練數據訓練一個對數機率回歸模型，得到參數。因此，ProbSVM的假設函數為
對數機率回歸模型可以認為是對訓練得到的支持向量機的微調，包括尺度 (對應 θ1) 和平移 (對應 θ0)。通常θ1 > 0，θ0 ≈ 0。
多分類支持向量機. 支持向量機也可以擴展到多分類問題中. 對於 K 分類問題，多分類支持向量機 [17] 有 K組參數，並希望模型對於屬於正確標記的結果以 1 的間隔高於其他類的結果，形式化如下
References
[1] B. E. Boser, I. M. Guyon, and V. N. Vapnik. A trainingalgorithm for optimal margin classifiers. In Proceedingsof the Annual Workshop on Computational LearningTheory, pages 144–152, 1992. 5
[2] S. Boyd and L. Vandenberghe. Convex optimization.Cambridge university press, 2004. 4
[3] C.-C. Chang and C.-J. Lin. LIBSVM: A library for supportvector machines. ACM Transactions on IntelligentSystems and Technology, 2(3):27, 2011. 10
[4] C. Cortes and V. Vapnik. Support-vector networks.Machine Learning, 20(3):273–297, 1995. 1[5] N. Cristianini and J. Shawe-Taylor. An introduction tosupport vector machines and other kernel-based learningmethods. Cambridge University Press, 2000. 6
[6] H. Drucker, C. J. Burges, L. Kaufman, A. J. Smola,and V. Vapnik. Support vector regression machines. InAdvances in Neural Information Processing Systems,pages 155–161, 1997. 10
[7] R.-E. Fan, K.-W. Chang, C.-J. Hsieh, X.-R. Wang,and C.-J. Lin. LIBLINEAR: A library for large linearclassification. Journal of Machine Learning Research,9(8):1871–1874, 2008. 10
[8] T. Hofmann, B. Schölkopf, and A. J. Smola. Kernelmethods in machine learning. The Annals of Statistics,pages 1171–1220, 2008. 6
[9] G. R. Lanckriet, N. Cristianini, P. Bartlett, L. E.Ghaoui, and M. I. Jordan. Learning the kernel matrixwith semidefinite programming. Journal of MachineLearning Research, 5(1):27–72, 2004. 6[10] J. Platt. Sequential minimal optimization: A fast algorithmfor training support vector machines. MicriosoftResearch, 1998. 9
[11] J. Platt et al. Probabilistic outputs for support vectormachines and comparisons to regularized likelihoodmethods. Advances in Large Margin Classifiers,10(3):61–74, 1999. 10
[12] A. Rahimi and B. Recht. Random features for largescalekernel machines. In Advances in Neural InformationProcessing Systems, pages 1177–1184, 2008. 10
[13] B. Scholkopf and A. J. Smola. Learning with kernels:support vector machines, regularization, optimization,and beyond. MIT press, 2001. 6
[14] S. Shalev-Shwartz, Y. Singer, N. Srebro, and A. Cotter.Pegasos: Primal estimated sub-gradient solver forSVM. Mathematical Programming, 127(1):3–30, 2011.9
[15] I. W. Tsang, J. T. Kwok, and P.-M. Cheung. Corevector machines: Fast SVM training on very large datasets. Journal of Machine Learning Research, 6(4):363–392, 2005. 10
[16] V. Vapnik. The nature of statistical learning theory.Springer Science & Business Media, 2013. 5
[17] J. Weston, C. Watkins, et al. Support vector machinesfor multi-class pattern recognition. In Proceedings ofthe European Symposium on Artificial Neural Networks,volume 99, pages 219–224, 1999. 10
[18] C. K. Williams and M. Seeger. Using the nyströmmethod to speed up kernel machines. In Advances inNeural Information Processing Systems, pages 682–688,2001. 10
[19] 周志華. 機器學習. 清華大學出版社, 2016. 9
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