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【例1】（2019深圳中考選擇題11）定義一種新運算：
【例2】（2019深圳中考選擇題12）已知菱形ABCD中，邊長為4，∠BAD=120º，點E、F分別是AB、AD上的動點，若BE=AF，則下列結論正確的有幾個（ ）
①△BCE≌△ACF；②△ECF為等邊三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，則GF∶EG=1∶3.
A、1 B、2 C、3 D、4
【提示】①由SAS可證△BCE≌△ACF，故①正確；
②因△BCE≌△ACF，CE=CF，∠BCE=∠ACF；∠BCE+∠ECA=60º，故∠ACF+∠ECA=60º，即△ECF為等邊三角形，故②正確；
③∠AGE=∠AFG+∠FAC=∠AFG+60º；
∠AFC=∠AFG+∠EFC =∠AFG+60º，
∴∠AGE=∠AFC，故③正確；
④過點E作ET∥AF，則△AET為等邊三角形，
ET=AE=4-1=3，則GF∶EG=AF∶ET=1∶3，故④正確。
綜上所述，選D。
【注】知識點：菱形性質，相似三角形，全等三角形。
【例3】（2019深圳中考填空題16）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90º，點B在x軸上，C（0，-3），點A在反比例函數xy=k的圖像上，AC交x軸於點D，且y軸平分∠ACB，CD=3AD，則k=（ ）
【提示】CO平分∠ACB，CO⊥BD，根據「三線合一」，OB=OD；設D （t,0），則B（-t，0），
過點A作AT⊥x軸於點T，過點A作AS⊥y軸於點S，
則AT∶OC=AD∶DC=1∶3，AT=1，故A（k，1）；根據「三垂直模型」，
△ABT∽△BOC，∴AT∶OB=BT∶OC，即：
1∶t=（k+t）∶3，化簡得：t（k+t）=3 ……①
易知△COD∽△CAS，∴OD∶AS=CD∶CA，即：
t∶k=3∶4，化簡得：3k=4t ……②
【注】知識點：反比例函數性質，相似三角形，等腰三角形。
【例4】（2019深圳中考解答題22）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過點A（-1，0），C（0，3），且OB=OC。
（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；
（2）點D、E是直線x=1上的兩個動點（點D在點E的上方），且DE=1，求四邊形ACDE的周長的最小值；
（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3∶5的兩部分，求點P的坐標。
【提示】（1）由OB=OC，知B（3，0），設拋物線解析式為（交點式）：
y=a(x+1)(x-3)，
將點C（0，3）代入解析式中，解得：a=-1，故解析式為：
y= -(x+1)(x-3)；
化為頂點式：
y=-(x-1)2+4，
所以對稱軸為：x=1；
（2）這是：「將軍飲馬」模型的變式。令點C向下平移一個單位到點T，因點A關於x=1的對稱點為B，故連接BT交對稱軸於點E，則點D位於點E上方1個單位。
此時CD+EA最短；易知T（0，2），
（2）分析：四邊形CBPA分為兩部分：△ACP和△BCP，設CP交x軸於點R，則S△ACP∶S△BCP=AR∶RB。
①當AR∶RB=3∶5時：AB=4，AR=（3/8）·4=3/2，故R（1/2，0）。
直線CR：y= -6x+3，與y=-(x+1)(x-3)聯立，解得：x=8，（x=0捨去），y= -45，故P（8，-45）；
②當AR∶RB=5∶3時：AR=（5/8）·4=5/2，故R（3/2，0）。
直線CR：y= -2x+3，與y=-(x+1)(x-3)聯立，解得：x=4，（x=0捨去），y= -5，故P（4，-5）；
綜上所述，符合條件的點P的坐標為：（8，-45），P（4，-5）
【注】知識點：二次函數解析式、圖像及其性質，「將軍飲馬」幾何最值及其變形，面積比例，直線方程，二元一次方程等。
【例5】（2019深圳中考解答題23）如圖，已知在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以線段BC為直徑作圓，圓心為點E，直線AC交⊙E於點D，連接OD。
（1）求證：直線OD是⊙E的切線；
（2）點F為x軸上任意一點，連接CF交⊙E於點G，連接BG；
①當tan∠ACF=1/7時，則所有符合條件的點F的坐標為_______________________（直接寫出）；
②求BG∶CF的最大值。
【提示】（1）連接ED，EO。
∵OB=OA，EC=EB，∴EO為AC的中位線，故EO∥AC，∴∠BEO=∠BCA，∠DEO=∠EDC；
∵∠BCA=∠EDC，∴∠BEO=∠DEO，∴△BEO≌△DEO，∠EDO=∠EBO=90º，∴直線OD是⊙E的切線；
（2）填（5，0），（43/31，0）。
分析：已知角度正切值，構造直角三角形。
（a）當點F在點A右側時：
構造「三垂直」：過點A作AR⊥AF於點R，過點R作RS⊥x軸於點S，過點C作CT⊥RS交SR延長線於點T。
設R（m，n），則T（m，8），S（m，0），
由於△ARS∽△RCT，∴AS∶TR=RS∶CT=AR∶CR=1∶7，
∴TR=7AS，CT=7RS，即：
8-n=7（m-3），m+3=7n，解得：m=4，n=1，
∴R（4，1），有兩點式知直線CR的解析式為：
（b）當點F在點A左側時：
過點F作FK⊥AC於點K。
則△AFK∽△ACB，∵AB∶BC∶AC=3∶4∶5，
∴AK∶FK∶AF=3∶4∶5，
設AK=3x，則FK=4x，AF=5x，
∵tan∠ACF=1/7，∴AK=7×4x=28x，
AC=28x+3x=10，x=10/31，AF=50/31，OF=43/31，
∴F（43/31，0）；
②分析：因為求BG與CF的比值的極值，CF為△BCF的斜邊，故需構造BG為斜邊的直角三角形，且與△BCF相似。
過點G作GP⊥BC於點P，
且點C和S關於AB對稱，
∵∠CGB=∠CBF=90º，∴∠CBG=∠BFC，
∴△BGP∽△BCF，∴BG∶CF=PG∶BC=PG∶8，
當PG最大時，BG∶CF的比值最大，顯然PG≤4，PG最大值為4，
∴BG∶CF的比值最大值為1/2。
【注】此題若用三角函數方法來解就更簡單了：
BG=8sinC，CF=8/cosC，BG/CF=sinCcosC=sin2C/2，
當2C=90º時，即C=45º時，BG/CF最大為1/2。
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