從歷史角度講偏微分方程

偏微分方程是含有未知多元函數的偏導數的方程。例如熱傳導方程

就是一個典型的二階偏微分方程，其中的雙曲型（以波動方程為代表）、拋物型（以熱傳導方程為代表）和橢圓型（以調和方程為代表）這三種類型來分別加以研究。

偏微分方程在物理學和現代科學技術中有十分重要的應用，同時它也是現代數學中一個很重要的基礎分支學科。在大學數學系的各門課程中，偏微分方程、實變與泛函、抽象代數這三門課大概都屬於最難的課程了。我們在大一時學習的數學分析課程其實主要就是在為偏微分方程作準備的（當然也為其他一些課程作準備），例如數學分析級數論中的函數項級數一致收斂的理論，就反覆地用到了偏微分方程的課程中，特別是看上去比較奇怪的用三角函數級數來表示任意函數的傅立葉級數的理論，簡直就是為偏微分方程課程量身定做的，還有多元微積分中比較複雜的聯繫曲線與曲面積分的高斯公式（即散度定理），更是成為了研究偏微分方程中的調和方程解的性質的有力工具。

偏微分方程這門課程（有時也稱為「數學物理方程」）包含了非常豐富的內容，具有相當的難度。確實，從18世紀中葉法國數學家達朗貝爾開始研究波動方程的求解問題到現在，已經過去了兩百多年，在此期間無數的數學家們都為偏微分方程這個數學分支學科作出了大大小小的各種貢獻，其中就包括了像歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西這樣的大數學家。儘管偏微分方程這個學科已經產生了數量眾多的理論與方法，但是作為本科程度的教材，只能選取偏微分方程理論中最基本和最重要方法來進行入門性質的教學。

筆者在讀數學系本科大三的偏微分方程課程時，念的課本是由復旦大學編的偏微分方程教材《數學物理方程》，它包括了以下各章的內容：

第一章 波動方程 定解條件、達朗貝爾公式、混合問題的分離變量法、高維波動方程的柯西問題、能量不等式、波動方程解的唯一性和穩定性；第二章 熱傳導方程 定解問題、混合問題的分離變量法、柯西問題與傅立葉變換、極值原理、熱傳導方程解的唯一性和穩定性；第三章 調和方程 定解條件、格林公式及其應用、格林函數、強極值原理與第二邊值問題的唯一性；第四章 二階線性偏微分方程的分類 二階方程的分類、二階方程的特徵理論、三類方程的比較；第五章 一階偏微分方程組 兩個自變量的一階線性偏微分方程的特徵理論、兩個自變量的線性雙曲型方程組的柯西問題、其他問題、冪級數解法與柯西-柯娃律夫斯卡婭定理。

復旦大學數學系主編《數學物理方程》

當時筆者感覺偏微分方程這門課程學起來比較難，教材中有不少艱深的概念，定理證明的過程和解方程的方法也很複雜。這從歷史上來看並不奇怪，因為這門課程凝聚了18、19和20世紀中的許多數學家深刻的數學思想方法和高超的分析技巧。

就像很多人經常說的：在學習嚴格的數學分析課程之前，最好有一個不強調證明的微積分課程一樣，人們希望在學習偏微分方程的基礎理論課程之前，最好也有一個不強調證明的初等偏微分方程課程。筆者最近看到過一本國外編寫的初等偏微分方程教材《Applied Partial Differential Equations》,內容不多，只有181頁，但是寫得很平易。該書主要包括了以下四章的內容:

第一章 偏微分方程的物理起源 守恆律、擴散、弦振動、三維熱流、調和方程；第二章 無界區域上的偏微分方程 熱傳導方程與波動方程的簡單解法、拉普拉斯變換與傅立葉變換、偏微分方程的求解軟體包；第三章 正交展開式 傅立葉級數，Sturm-Liouville問題；第四章 有界區域上的偏微分方程 分離變量法、圓形區域上的調和方程與熱傳導方程、非齊次一維熱傳導方程。

這個初等偏微分方程的課程體系擺脫了傳統的「雙曲型、拋物型、橢圓型」三種類型的教學架構，比較好地顯示了偏微分方程理論最基本和最簡單的思想方法。

先學初等偏微分方程課程的做法其實也與數學發展的歷史相契合。筆者認為在學習每一門數學課程時，首先要了解這門課程的早期形成歷史，並且教材也要儘量按照數學歷史發展的進程來安排教學的內容，這是因為一般來說數學的發展歷史是比較精彩和富有啟發意義的，它能夠讓學生更好地理解各門數學課程。最好是用歷史上曾經出現過的原始數學問題來引入教學的主題，並且運用前人的樸素想法，來解決一些相對簡單的問題，從中揭示抽象的數學概念與方法所包涵的豐富的實際內涵，使他們先對這個學科的特點有一個初步的整體性的了解，從而產生進一步深入學習該學科的興趣。

一、分離變量法是求偏微分方程經典解的最基本方法

本節就介紹一些可以在初等偏微分方程課程中講的內容。

分離變量法是早期研究偏微分方程的求解問題時最常使用的方法，這種方法先求滿足方程的變量分離形式的解，這樣的解通常有無窮多個，然後再根據初始條件和邊界條件，將求出的無窮多個的解疊加起來，從而就構成了偏微分方程的級數形式的通解。

二、對調和方程的進一步研究

在了解了上述泊松積分公式的產生過程後，再來學習「格林公式」和「格林函數」時，就不會感到很陌生了。

格林是19世紀中另一位對偏微分方程理論作出重要貢獻的英國數學家，他以電磁學的理論作為參照，來研究三維調和方程

的解的性質，這個解

格林首先從多元微積分中的高斯公式出發，推導出了非常基本的「格林第二公式」：

然後他用這個公式推導出了關於調和方程解的一個很重要的公式

公式（10）的意義與泊松積分公式（9）的意義一樣，它把調和方程解

通過運用公式（10），我們可以推導出調和方程解的一系列基本性質，例如平均值公式、調和方程解的解析性、哈那克定理等。我們還可以從公式（10）出發，推導出空間球形區域上三維調和方程解的精確公式（即球形區域上的泊松積分公式，用球坐標

這個球的球心是原點，球半徑為

調和方程的一般推廣就是下面的二階橢圓型偏微分方程：

其中的係數矩陣

本文轉自公眾號「小朱的讀書筆記」，略有刪改，感謝原作者。

看完這篇文章，老規矩，下面，給大家推薦偏微分方程（數學物理方程）的好書吧。

第一本：中國科學技術大學《數學物理方程（第二版）》

這本書是中國科學技術大學季孝達等老師為學方程的小夥伴們精心打造的。

《數學物理方程（第二版）》根據編者在中國科學技術大學多年的教學經驗編寫而成,通過對三類典型方程的討論,介紹求解偏微分方程定解問題的通解法,分離變量法,積分變換法,基本解方法和變分方法,以及相關的固有值問題,特殊函數和廣義函數簡介。

本書還討論了一階線性和擬線性偏微分方程的特徵線概念和求解方法。對涉及的數學理論,《普通高等教育"十一五"規劃教材:數學物理方程(第2版)》重在理解和應用。全書材料豐富,結構清晰,層次分明,便於不同需求的讀者使用。

本書適合於高等院校理工科非數學系本科生及有關科研、工程技術人員使用。

有用過本書的小夥伴這麼評價：

第二本：河海大學《數學物理方程》及《數學物理方程學習指導與習題解答》

這套書是河海大學陳才生老師為學方程的小夥伴們精心打造的。

《數學物理方程》以方法為主線，內容包括偏微分方程的基本概念、二階線性偏微分方程的分類與標準型、二階常係數偏微分方程定解問題的經典解法、一階擬線性偏微分方程的基本理論和定解問題的求法、兩類特殊函數及應用。本書內容豐富、系統性強、敘述詳盡，具有較強的可讀性，每一章配備了較多類型的例題和習題，供讀者閱讀和練習。書末附有大部分習題的答案與提示。

《數學物理方程學習指導與習題解答》是與《數學物理方程》配套的學習輔導書。全書共分11章。前九章每章包括基本內容提要、習題解答和補充習題解答三部分.基本內容提要是相關內容的精講，供學生複習參考之用；本書提供了《數學物理方程》中絕大部分習題的解答，供學習數學物理方程課程的學生和老師參考；補充習題解答是為了使部分優秀的學生靈活使用數學物理方程有關方法和拓寬視野之用。本書可以幫助學生學習數學物理方程中各類定解問題的解題方法和技巧，了解豐富多彩的各種題型，從而加深對這門課程的理解和掌握。

學習這套本書，有利於打好《數學物理方程》基礎，讓學生學會做題，真正學會偏微分方程。

有用過本書的小夥伴這麼評價：

第三本：復旦大學《變分法與偏微分方程》

這本書是復旦大學劉憲高老師為學方程的小夥伴們精心打造的。《變分法與偏微分方程》在Sobolev空間框架下，介紹了積分泛函極小問題的現代偏微分方程的理論，內容包括：Sobolev函數空間及各種性質；經典變分方法：一階變分、二階變分、極小點存在的充分和必要條件、條件極值的Lagrange乘子法等；變分法的直接方法：下半連續性、補償緊性、集中緊性、Ekeland變分、Nehari技巧等；三維歐氏空間極小曲面的Douglas方法和等周不等式的證明.

劉老師編寫這本書的初衷就是為學習偏微分方程和從事偏微分方程研究的孩紙，建立從一個本科高年級學生跨入現代偏微分方程領域的知識橋梁，更快更好的入門現代偏微分方程領域。

所以，這本書可作為理工類專業研究生的教材和高年級本科生的選修課教材，也可供相關的科學技術人員參考哦。作為剛開始入門學習偏微分方程的孩紙，可以系統學習這本書，有利於打基礎，系統學習。

有用過本書的小夥伴這麼評價：

如果你在學方程，也來看看吧。絕對養神補腦。

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