等度量映射（Isometric Feature Mapping，Isomap）是流形學習的一種，用於非線性數據降維，是一種無監督算法。
Isomap所採用的核心算法和MDS是一致的，區別在於原始空間中的距離矩陣的計算上。很多數據是非線性結構，不適合直接採用PCA算法和MDS算法。在非線性數據結構中，流形上距離很遠（測地距離，即在曲面上(不允許離開曲面)從A點走到B點的最短距離）的兩個數據點，在高維空間中的距離（歐式距離）可能非常近。
Isomap最主要的優點就是使用「測地距離」，而不是使用原始的歐幾裡得距離，這樣可以更好得控制數據信息的流失，能夠在低維空間中更加全面地將高維空間的數據表現出來，如下圖經典的「瑞士卷」模型，通過從點1到點9的k近鄰層層遞進方法，得到紅色曲線，即為兩點之間的測地距離。
(1)首先建立鄰近圖：對於每個樣本點，計算它的k近鄰，利用流形在局部上的歐式空間同胚性質，基於歐式距離，找出每個點在低維流形上的近鄰點，建立近鄰連接圖；(2)計算兩個點之間的測地距離：調用最短路徑算法計算任意兩樣本點之間的距離，計算近鄰圖上任意兩點之間的最短路徑，作為兩點之間的距離；(3)低維映射：得到兩點之間的測地距離後，通過MDS算法獲得樣本點在地位空間中的坐標。(1)k近鄰圖：指定近鄰點個數，例如指定距離最近的k個點為近鄰點；(2)ε近鄰圖：指定近鄰點閾值ε，距離小於ε的點被認為是近鄰點。在建立近鄰圖時，應當注意控制近鄰圖的範圍，否則容易出現「短路」或者「斷路」問題：
(1)「短路」問題：近鄰範圍制定過大，距離很遠的點也被誤認為是近鄰；
(2)「斷路」問題：近鄰範圍制定過小，本應當相鄰的點被認為斷開的。
Isomap算法針對MDS算法，解決了MDS基於歐式距離映射非線性結構高維數據的局限性。然而，對於新樣本，難以將其映射到低維空間。理論上可以將新樣本添加到數據集中，重新調用Isomap算法，但這方案計算量太大。一般的解決方法是，訓練一個回歸學習器對新樣本的低維空間進行預測。
以鳶尾花數據集為例，實現Isomap降維算法。原始數據集包含三種不同的分類，共150條數據，每個數據有四個特徵。#(1)導入必要程序庫import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn import datasets,decomposition,manifold
#(2)加載數據def load_data(): iris=datasets.load_iris() return iris.data,iris.target
#(3)使用Isomapdef test_Isomap(*data): X,y=data for n in [4,3,2,1]: isomap=manifold.Isomap(n_components=n) isomap.fit(X) print('reconstruction_error(n_components=%d):%s'%(n, isomap.reconstruction_error()))X,y=load_data()test_Isomap(X,y)
#(4)降維後的樣本分布圖def plot_Isomap(*data): X,y=data Ks=[1,5,25,y.size-1] fig=plt.figure() for i,k in enumerate(Ks): isomap=manifold.Isomap(n_components=2,n_neighbors=k) X_r=isomap.fit_transform(X) ax=fig.add_subplot(2,2,i+1) colors=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0.5,0.5,0),(0,0.5,0.5),(0.5,0,0.5), (0.4,0.6,0),(0.6,0.4,0),(0,0.6,0.4),(0.5,0.3,0.2),) for label,color in zip(np.unique(y),colors): position=y==label ax.scatter(X_r[position,0],X_r[position,1],label='target=%d'%label,color=color) ax.set_xlabel('X[0]') ax.set_ylabel('X[1]') ax.legend(loc='best') ax.set_title("k=%d"%k) plt.suptitle('Isomap') plt.tight_layout(pad=2) plt.show()plot_Isomap(X,y)
#(5)將原始數據壓縮到一維def plot_Isomap_k_d1(*data): X,y=data Ks=[1,5,25,y.size-1] fig=plt.figure() for i,k in enumerate(Ks): isomap=manifold.Isomap(n_components=2,n_neighbors=k) X_r=isomap.fit_transform(X) ax=fig.add_subplot(2,2,i+1) colors=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0.5,0.5,0),(0,0.5,0.5),(0.5,0,0.5), (0.4,0.6,0),(0.6,0.4,0),(0,0.6,0.4),(0.5,0.3,0.2),) for label,color in zip(np.unique(y),colors): position=y==label ax.scatter(X_r[position],np.zeros_like(X_r[position]),label='target=%d'%label,color=color) ax.set_xlabel('X[0]') ax.set_ylabel('Y') ax.legend(loc='best') ax.set_title("k=%d"%k) plt.suptitle('Isomap') plt.tight_layout(pad=2) plt.show()plot_Isomap_k_d1(X,y)代碼運行如下：
reconstruction_error(n_components=4):1.0094929893039135
reconstruction_error(n_components=3):1.0181252006659833
reconstruction_error(n_components=2):1.0275229261937564reconstruction_error(n_components=1):1.0715321251523136
降維後的樣本分布如下：
將原始數據的特徵直接壓縮到一維效果如下：
sklearn與機器學習系列專題之降維（六）一文弄懂LLE特徵篩選&降維
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