這篇是傅立葉級數系列的最後一篇，如果沒有看過前幾篇建議先看前面幾篇哈~
《關於圓周運動的一點思考》
《理解傅立葉級數——分析公式》
《理解傅立葉級數——綜合公式》
前三篇在一個二維空間裡理解了復指數形式的傅立葉級數。
一起來簡單回顧一下之前的復指數形式傅立葉級數兩個公式的意義：
分析公式：把周期信號依次在相互正交的基波和各階諧波（無窮多階）上做「投影」（內積），就得到了各階傅立葉係數。
綜合公式：傅立葉係數是一個複數，包括幅度和相位，利用幅度和相位建立一系列圓周運動信號，這些信號的疊加就是原來的周期信號。
這一篇裡，咱們一起來利用部分已經理解的內容，重新在一個一維的空間（只有實數）裡，建立傅立葉級數的展開過程。:)
為了建立傅立葉級數，這一篇咱們先做兩個簡單的準備工作。
(1) 同頻率正餘弦信號的和
▲cos與sin的疊加
觀察一下合成信號的頻率，發現什麼了？兩個同頻率圓周運動的疊加仍然還是當前頻率的圓周運動。:)
咱們再觀察一下合成信號與原餘弦函數的差別在哪裡？是不是發現信號的幅度和初始相位發生了變化？這個例子裡的合成運動的初始相位變為了45°，幅度成了~1.4倍。
那為什麼會這樣呢？
這裡為了解釋這個現象，還是站的高一點，從二維空間的運動來理解比較直觀，直接看圖。
▲二維投影來看cos與sin的疊加現象
第一個：餘弦信號的幅度是0.5，正弦信號幅度是1
▲二維投影來看0.5*cos與1*sin的疊加現象
第二個：餘弦信號幅度是-0.6，正弦信號幅度是-0.8
▲二維投影來看-0.6*cos與-0.8*sin的疊加現象
從第二個例子咱們發現幅度可以是負的^_^
於是，咱們發現了表示信號相位的另一個方式：
使用餘弦信號和正弦信號的線性組合！
一起來看一個包羅所有組合的例子~
▲利用cos和sin的不同幅度來生成不同的初始相位
從上面可以看到，利用藍色的餘弦函數和綠色的正弦函數，使用不同的幅度組合，就可以得到所有初始相位的餘弦函數波形。^_^
（這裡為了直觀，對組合函數的幅度進行了歸一化，如果需要改變組合函數的幅度，只需要同比例增大正弦和餘弦的幅度）
簡單提一句哈，不知道各位有沒有發現，上面的合成函數像極了《別樣最美公式》中提到的平面波，但這裡的橫坐標是時間，而動畫中的每一幀只是一種組合方式，這裡只是表示了一個一維的運動在不同的初始狀態下的結果。
如果將橫坐標看成另一個空間維度，將每一幀看做一個時間片段，這個動畫就成了一個二維空間的平面波，維度間的轉換關係很神奇有沒有？:)
注意哈，這裡討論的"和"一定是兩個同頻率的信號，而且一定是一個正弦和一個餘弦信號。如果兩個相同的餘弦函數相加就沒什麼意思了，因為明顯信號被放大一倍對吧？^_^。
(2) 正餘弦諧波信號的乘積積分
下面來進行第二個準備工作。一起回憶一下，之前從下面這個動畫開始：
▲6次諧波在基波周期內的面積和為0
▲m=1,n=2的正弦乘積
▲m=2,n=5的正弦乘積
▲m=3,n=3的正弦乘積
作為對比，這裡也給出三個餘弦信號的乘積信號及積分過程，下面分別是(m=1,n=2)和(m=2,n=5)，以及(m=3,n=3)。
▲m=1,n=2的餘弦乘積
▲m=2,n=5的餘弦乘積
▲m=3,n=3的餘弦乘積
可以看到，在m和n不相同的時候，周期內的積分值確實是0，而在m和n相同時，積分結果是0.5T（上例中積分面積的單位是周期T）。
更直觀的理解是：在m=n的時候，乘積變成了平方（上面動畫中只有綠色部分），因此是一個非負的數，積分必定不為零^_^
幾個0的情況咱們小結一下：
1.所有非零次諧波直接積分，永遠是0；
2.正弦諧波乘餘弦諧波後積分，永遠是0；
3.正弦諧波乘不同頻率正弦諧波後積分，永遠是0；
4.餘弦諧波乘不同頻率餘弦諧波後積分，永遠是0；
不為0的情況咱們也小結一下：
1.正弦諧波乘相同頻率正弦諧波後積分，結果是T/2；
2.餘弦諧波乘相同頻率餘弦諧波後積分，結果是T/2；
到這裡，咱們已經獲得了兩個很給力的工具，利用這兩個工具，咱們就能夠建立傅立葉級數了^_^。
(3) 傅立葉級數的三角函數形式
(4) 三角函數形式的傅立葉係數
(5)不同形式係數的內在關係
雖然咱們到這似乎已經理解了實信號傅立葉級數的三角函數形式，但還是應該再觀察下有沒有咱們沒有注意到的地方，特別是和之前的復指數形式有沒有什麼不同。
那究竟是為什麼呢？咱們一起通過一個小實驗來一起思考一下。^_^
首先，建立一個實信號，由四個成分：
成分1：頻率=0Hz，幅度=0.6
成分2：頻率=1Hz，幅度=2，相位=30°
成分3：頻率=5Hz，幅度=1，相位=135°
成分4：頻率=12Hz，幅度=0.75，相位=270°
這時的信號在1s內是這個樣子：
▲DEMO周期信號1s內的波形
以1s為基波周期，在使用二維復指數形式進行傅立葉級數展開時，我們有各個係數幅度的分布：
▲DEMO周期信號復指數傅立葉係數的幅值
對應的有各個係數相位的分布：
▲DEMO周期信號復指數傅立葉係數的相位
從這裡面能明顯看出上一篇中提到的傅立葉係數正負頻率的性質——實信號「幅度相同，相位相反」。：）
如果咱們使用三角函數形式的傅立葉級數進行展開，會是怎樣的結果呢？一起來看一下（為了 區別，三角函數形式係數使用了A/B表示，而復指數形式係數使用了a表示）：
▲DEMO周期信號三角函數傅立葉係數的餘弦項係數
▲DEMO周期信號三角函數傅立葉係數的正弦項係數
▲兩種傅立葉係數的關係（圖中圓形為單位圓）
傅立葉級數系列就講到這裡，如果各位看了這一系列的四篇後能夠對傅立葉級數有個比較完整的認識，並且能對相關知識延拓提供一點點幫助，我的目的就達到了。^_^
最後，歡迎各位批評指正，更歡迎各位轉發*\(^o^)/*
先行謝過~