高中數學：21種解題方法與技巧

1．解決絕對值問題

　　主要包括化簡、求值、方程、不等式、函數等題，基本思路是：把含絕對值的問題轉化為不含絕對值的問題。具體轉化方法有：

　　①分類討論法:根據絕對值符號中的數或式子的正、零、負分情況去掉絕對值。

　　②零點分段討論法：適用於含一個字母的多個絕對值的情況。

　　③兩邊平方法：適用於兩邊非負的方程或不等式。

　　④幾何意義法：適用於有明顯幾何意義的情況。

2．因式分解

　　根據項數選擇方法和按照一般步驟是順利進行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步驟是：

3．配方法

　　利用完全平方公式把一個式子或部分化為完全平方式就是配方法，它是數學中的重要方法和技巧。配方法的主要根據有：

4．換元法

　　解某些複雜的特性方程要用到「換元法」。換元法解方程的一般步驟是：

　　設元→換元→解元→還元

5．待定係數法

　　待定係數法是在已知對象形式的條件下求對象的一種方法。適用於求點的坐標、函數解析式、曲線方程等重要問題的解決。其解題步驟是：

　　①設　②列　③解　④寫

6．複雜代數等式

　　複雜代數等式型條件的使用技巧：左邊化零，右邊變形。

　　①因式分解型：

　　(-----)(----)=0 兩種情況為或型

　　②配成平方型：

　　(----)2+(----)2=0 兩種情況為且型

7．數學中兩個最偉大的解題思路

　　①求值的思路列欲求值字母的方程或方程組

　　②求取值範圍的思路列欲求範圍字母的不等式或不等式組

8．化簡二次根式

　　基本思路是：把√m化成完全平方式。即：

9．觀察法

10．代數式求值

　　方法有：

　　①直接代入法

　　②化簡代入法

　　③適當變形法（和積代入法）

　　注意：當求值的代數式是字母的「對稱式」時，通常可以化為字母「和與積」的形式，從而用「和積代入法」求值。

11．解含參方程

　　方程中除過未知數以外，含有的其它字母叫參數，這種方程叫含參方程。解含參方程一般要用『分類討論法』，其原則是：

　　①按照類型求解

　　②根據需要討論

　　③分類寫出結論

12．恆相等成立的有用條件

　　①ax+b=0對於任意x都成立關於x的方程ax+b=0有無數個解a=0且b=0。

　　②ax2＋bx＋c＝0對於任意x都成立關於x的方程ax2＋bx＋c＝0有無數解a=0、b=0、c=0。

13．恆不等成立的條件

　　由一元二次不等式解集為R的有關結論容易得到下列恆不等成立的條件：

14．平移規律

　　圖像的平移規律是研究複雜函數的重要方法。平移規律是：

15．圖像法

　　討論函數性質的重要方法是圖像法——看圖像、得性質。

　　定義域圖像在X軸上對應的部分。

　　值域圖像在Y軸上對應的部分。

　　單調性。

　　從左向右看，連續上升的一段在X軸上對應的區間是增區間；從左向右看，連續下降的一段在X軸上對應的區間是減區間。

　　最值圖像最高點處有最大值，圖像最低點處有最小值。

　　奇偶性關於Y軸對稱是偶函數，關於原點對稱是奇函數。

16．函數、方程、不等式間的重要關係

17．一元二次方程的解法

　　一元二次不等式可以用因式分解轉化為二元一次不等式組去解，但比較複雜；它的簡便的實用解法是根據「三個二次」間的關係，利用二次函數的圖像去解。具體步驟如下：

18．一元二次方程根的討論

　　一元二次方程根的符號問題或m型問題可以利用根的判別式和根與係數的關係來解決，但根的一般問題、特別是區間根的問題要根據「三個二次」間的關係，利用二次函數的圖像來解決。「圖像法」解決一元二次方程根的問題的一般思路是：

　　不等式組包括：a的符號；△的情況；對稱軸的位置；區間端點函數值的符號。

19．基本函數在區間上的值域

　　我們學過的一次函數、反比例函數、二次函數等有名稱的函數是基本函數。基本函數求值域或最值有兩種情況：

　　①定義域沒有特別限制時---記憶法或結論法；

　　②定義域有特別限制時---圖像截斷法，一般思路是：

20．最值型應用題的解法

　　應用題中，涉及「一個變量取什麼值時另一個變量取得最大值或最小值」的問題是最值型應用題。解決最值型應用題的基本思路是函數思想法，其解題步驟是：

21．穿線法

　　穿線法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是：

　　注意：①高次不等式首先要用移項和因式分解的方法化為「左邊乘積、右邊是零」的形式。②分式不等式一般不能用兩邊都乘去分母的方法來解，要通過移項、通分合併、因式分解的方法化為「商零式」，用穿線法解。

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