小學數學的重要知識點:「方中圓」與「圓中方」的計算方法

2020-12-11 草根話教育

小學數學中的平面圖形雖然不多,但組合圖形的花樣卻不少。組合圖形的解構和運算綜合性強,考察範圍廣,是幾何知識的薈萃,也是重要的考點之一。今天,筆者選取其中的一種類型——「方中圓」與「圓中方」的組合圖形,和大家共同來解析一下它的運算方法。

圓是我們常見的一種幾何圖形,生活中處處可見。認識圓,解構圓,理解圓,探究圓,這些都是數學不可或缺的內容,也是邏輯思維能力和極限想像能力訓練的需要。數學的學習絕不能只浮於表面,絕不能淺嘗輒止,對於每一個知識點都應深入挖掘和探索,最大限度地明其義理,最大可能地拓寬拔高。

下面我們就來嘗試解析一下有關圓方組合的圖形,探究一下它各部分面積的計算方法。

〔題目〕如下圖所示,在大正方形內做一個最大的圓,再在這個圓內做一個最大的正方形,其中圓的面積是12.56平方釐米,試求出大正方形和小正方形的面積各是多少平方釐米。

〔思路〕已知圓的面積是12.56平方釐米,可利用圓的面積公式——面積=圓周率×半徑×半徑——求出圓的半徑,繼而計算出圓的直徑。因為圓的直徑與大正方形的邊長相等,所以可繼續利用正方形面積公式求出大正方形的面積。但小正方形面積的計算要稍微複雜一些,必須首先連接小正方形的對角線,這樣就把小正方形一分為二,變成了兩個相同的三角形。這條對角線是圓的一條直徑,同時也是分割後的兩個三角形共同的底,而兩個三角形的高又都是圓的半徑,因此小正方形的面積也就是這兩個三角形的面積之和,這是數學思想當中轉化思想的一次實際運用。

〔解答〕因為3.14×r×r=12.56,

所以r×r=4,得:r=2。

大正方形邊長=直徑=2×2=4釐米,

大正方形面積=4×4=16平方釐米。

三角形面積=4×2÷2=4平方釐米,

小正方形面積=4+4=8平方釐米。

答:組合圖形中大正方形的面積是16平方釐米,小正方形的面積是8平方釐米。

〔點評〕此題中大正方形的面積計算過程比較簡單,而小正方形的面積計算過程稍顯複雜,複雜的原因是利用小學數學知識無法求出小正方形的邊長。在這種情況下要學會轉換解題方式,用轉化思想去分析和解決面臨的問題,通過解構把它變成熟悉的已知條件完備的圖形,然後迂迴求解。因此說,數學的基礎知識學習固然重要,但數學中思想方法的靈活運用也同樣重要。

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