1792年，15歲的高斯在他對數表的最後一頁，給出了關於質數分布的一個猜想：用現在的符號表示為：
π(x)~x/lnx. (當x→∞時，不大於x的質數的個數為x/lnx)
此猜想經黎曼等數學家的補充與證明，最終變成對數論發展影響深遠的「質數定理」. 定理中的兩個重要概念——質數與自然常數e，一個屬於數論範疇，另一個（lnx中的自然常數e）則隸屬於分析學。
「質數定理」將兩個看似毫無關聯的數學分支—— 「數論與分析」緊密聯繫在了一起。
數學中很多重要的常數，如圓周率π，根號2等，但從定義上理解，自然常數e可能是最為耀眼的一個，因為它是第一個使用極限來定義的常數：
自然常數e是如何被人們的發現的呢？一般認為與16世紀計算複利密切相關：
小王急用1萬元錢，找人借高利貸，貸款年利息是100%，並可自由選擇結算利息的次數。小王該選擇多久結一次利息更划算呢？先來看看不同結算次數對還款的影響.
一年（12個月）計息一次，1年後還款 1+1=2 （萬元）
半年（6個月）計息一次，1年後還款 (1+1/2)^2 =2.25（萬元）
一季度（3個月）計息一次，1年後還款(1+1/4)^4 ≈2.44（萬元）
一個月計息一次，1年後還款(1+1/12)^12 ≈2.61（萬元）
這樣的計息方式還可以無限的繼續下去， 我們發現利息結算次數越多，年底還款也就越多，小王當然選擇一年結算一次比較划算。
現在繼續往下思考，對於這樣的貸款方式，如果結算次數無限多，年底還款會不會是個無底洞呢？我們再來看看下面的數據：
越往後計算，其結果越接近於2.718281828…，即
這是一個不可思議的結果，我們現在通常用字母e來表示這個數，並稱之為自然常數。可惜的是我們不知道誰第一個發現了這個極限值，現在知曉的比較早些的線索是出現在納皮爾的《奇妙的對數表的描述》（1618年）一書中。
在「可與「微積分」媲美的發現，讓伽利略、歐拉等數學大神都讚不絕口」一文中，說道納皮爾的對數表中計算了
的值，結果近似等於1/e.這是巧合還是有意為之，我們很難判斷，但納皮爾的這一記錄的確引起了數學家們的注意，尤其是伯努利家族。
伯努利家族以「盛產」物理學家、數學家而聞名，約翰·伯努利和雅克比·伯努利兩兄弟都是伯努利家族中最著名的一員。雅克比·伯努利第一次把e看成常數，並試圖計算
萊布尼茨在1690-1691之間給惠更斯的通信中第一次用到這個常數，並用b表示。
1691年6月，《教師學報》同時發表了三位數學家（惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利），關於「懸鏈線」問題的解答，這樣一個表達式用到了自然常數e.
同時， 17世紀的一個關於對數的重要發現更是使得自然對數e走到了數學的前沿.
1647年，比利時數學家聖·文森特(Gregoire de Saint-Vincent)利用費馬的方法，在對直角雙曲線y=1/x求積時，發現「當長方形的長寬形成幾何級數時，這些長方形的面積相等」。
文森特的這個結論換一種說法為：
曲線y=1/x下的矩形面積，在區間[a,b]和[c,d]上，分別為m,n.
若a/b=c/d,則m=n.
根據這個結論，如下圖，設y=1/x下矩形在區間(1,a)，(a,b),(b,ab)上的面積分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ.
由於 a/1=ab/b,則Ⅰ= Ⅲ .
當a→b時，y=1/x的圖像與x軸在(1,a)與(b,ab)上圍成的曲邊梯形的面積也相等.記為Ⅰ*=Ⅲ*.
因此y=1/x的圖像與x軸在(1,a)及 (1,b)上圍成的曲邊梯形的面積等於在(1,ab)上圍成的曲邊梯形的面積，其值均為：2Ⅰ*+Ⅱ*.
這個結論告訴我們:y=1/x下面積公式滿足：
A(ab)=A(a)+A(b)
也就是面積公式可以用對數表示。
牛頓在廣義二項式定理的基礎上，也間接的得到了y=1/(1+x)曲線下面積可用對數來表示的結論。
廣義二項式定理是牛頓計算函數微積分的重要工具，他對於很多函數的求導、求積都源於函數的無窮級數展開。
按照費馬公式，
對以上各項求積分得到y=1/(1+x)曲線下面積公式：
根據分析知識，牛頓已經得到了用對數來表示的級數展開
17世紀的文森特與牛頓，一個用費馬的求積法、一個用二項式定理，都分別將y=1/(1+x)曲線下面積公式用對數來表示，而這個對數的底數是什麼呢？根據ln(x+1)這個式子相信你已經想到了，這個底數是e. 下面是簡單的推導：
18世紀（歐拉時代之前），指數函數隻被當作對數函數的反函數，因此，對於函數
自然對數e在直角雙曲線y=1/x求積上的應用讓18世紀的數學家們倍感欣慰，
兩個式子更是初步確立了自然對數e在分析學中的重要地位。
到了1748年，歐拉的數學巨著《無窮小分析引論》出版，這本書是現代數學分析的基礎，它第一次使用符號f(x)來表示函數，並將函數概念進一步推廣。但這本書還有一個亮點——第一次將自然常數e,函數y=e^x擺放到數學分析的核心位置。
定義：
以及推導出了e^x的級數展開式：
如果歐拉的研究到此為止，那數學星空只是意外添加了幾顆亮光微弱的小星。但大師歐拉的洞察力和勇氣超乎我們的想像，他做了一個大膽、出格的決定：將展開式中的x換成ix(這裡的i為虛數單位)得到：
緊接著，將式子中的虛部與實部分開
(*)式用一種簡約而不簡單的方式，將三角學、代數學、以及分析學三個數學分支緊密的聯繫了起來，不但如此，歐拉令這裡的x=π，得到了另一個「最美公式」：
歐拉公式 .這裡借用一首詩來欣賞這個公式之美
一個表達式將代數中的「i」，算術中的「1」，分析中的「e」,以及圓周率π，這幾個重要的數學常數聯繫到了一起，沒有比這更神奇的事情了。
歐拉一生對分析學有著巨大的貢獻，他與生俱來的洞察力與魄力讓他在分析研究上運用自如，但他的這樣的性格同時也帶來了一些「麻煩」，就是歐拉所得到的這些結論背後的嚴謹性，歐拉並沒有真正一一的仔細去推敲。但這並不影響他數學大師的身份，或者說，相反的他將這些的結論的嚴謹性留給了後世的數學家（如拉格朗日、柯西等），讓年輕一代有更多的思考、和成長空間。
在歐拉工作的鼓勵下，柯西、黎曼、維爾斯特拉斯將自然常數e巧妙的滲入複函數中，使得複變函數得以在19世紀與抽象代數、非歐幾何並列為三大成就。
以17世紀自然常數e被重新認識開始，18、19世紀的數學家們迅速認識到e的不可缺少性，再通過e在各個領域的出色表現，數學家們對e的本身性質也產生了好奇。第一個問題無疑是：自然常數e是有理數還是無理數？
這不是一個簡單的問題，但對於大師歐拉卻並非難事。1737年，青年歐拉就已經證明了自然常數e以及它的平方e^2均為無理數。歐拉的證明方法不是很容易理解，但相信下面的這個初等證明你會閱讀得很愉快。
自然常數e為無理數
自然常數e的無理性被證明以後，數學家們繼續前進，並得到了下一個驚人的結論：自然常數e是超越數。所謂超越數，是與代數數相對應的數，即超越數不是任何一個整數系多項式的解。18世紀的朗伯特（1768年他證明了π是無理數）曾猜測自然常數e是超越數，但並未給出證明，這一結論的證明最後在1873年由法國數學家埃爾米特給出，證明長達30多頁。
數學的研究永無止境。歷時五百年，自然常數e已經在數論、代數、分析等數學領域發揮了巨大作用，它的歸宿在哪裡？又將走向何方？完整的解答交給時間，但可以確定的是，自然常數e會變得越來越重要。
ELI MAOR.e的故事.人民郵電出版社.2012