自然常數「e」,它到底「自然」在哪兒?

今天，洋蔥君要給和大家分享一個嚴肅的數學問題（正色）。    

這個問題在當年困擾了洋蔥君許久，後來直到洋蔥君家裡通了網（霧），才終於把它弄明白。    

問題的主角就是一個神奇的無理數：自然常數e。     

在初中階段，「無理數」這個概念走進了大家的課本。    

老師會告訴大家，非完全平方數的平方根（比如根號2）就是有理數，還有圓周率π也是無理數。如果你再仔細查查資料翻翻書的話，就會發現，很多地方還提到，自然常數e也是無理數，它的數值約等於2.7182818285。 

到了高中，在學到指數函數和對數函數的時候，自然常數e終於正式登上了數學課堂。    書上說：如果a^x=N（a＞0且a≠1），那麼x就叫做以a為底、N的對數，記作x=logaN。比如，2^3=8，那麼3就是以2為底8的對數。    書上還說，以10為底的對數可以簡寫為lg，以e為底的對數還可以簡寫成ln。 就算你還沒有上高中，也應該在科學計算器上見過這個「ln」了     ……等一下，把以10為底的對數寫成lg還可以理解，畢竟10在日常生活中還挺常用的。    但是e有什麼特殊的意義嗎？憑什麼以e為底的對數也有這麼好的待遇呢？   e確實有它的過人之處，足以讓它擔得起「自然常數」這個名號，且聽洋蔥君細細道來假如你現在手裡有1元錢，想利用這1元錢來生出更多的錢來，於是把它存到了銀行裡。銀行也非常看好你這種理財頭腦，大發慈悲給了你一個超級大福利：把年利率漲到了100%。也就是說，一年之後這1塊錢就會變成2塊錢啦。    但是你覺得等1年實在是太長了，半年算一次行不行？銀行說：沒問題呀，一年的利率是100%，那半年的利率就是50%了。    你掐指一算：沒關係，我可以過半年把錢取出來再存進去，這樣就能實現利滾利的操作了呀！這樣一來，一年之後這1元錢就變成了2.25元錢，比之前的2元多了0.25元呢！    感覺自己好機智！通過機智的操作，我們白賺了0.25塊錢     
既然有甜頭可賺，那還能不能再多賺點呢？當然可以啦～如果把取錢存錢的這個時間縮短到每4個月操作一次，獲得的利息還可以進一步增長，也就是這個式子：   甚至如果你能夠做到月月取、周周取甚至天天取，還能獲得更大的收益哦！    誒～這樣一來，豈不是可以靠著存錢取錢這種操作，直接變成大富翁？    大家有沒有發現，每次縮短取錢時間，利息增長的幅度好像也越來越少了？    這並不是你的錯覺。事實上，這個數額確實最終會趨近於一個「天花板」。想來也是，銀行怎麼可能讓你白賺這麼多錢呢┐(´∇｀)┌。    而這個就算你每時每分每秒都在存錢取錢，最終也無法突破的收益天花板，就是這篇文章的主角——e君啦～     洋蔥君剛剛講到的例子，其實就是e的一種定義方法。把它用數學的語言簡單粗暴地表示出來，可以寫成下面這個式子：   這個式子的意思是，當n的數值越來越大，要多大有多大，最後變得無限大的時候，(1+1/n)^n的數值將會越來越接近於一個數，這個數就是自然常數——e。  通過上面的例子，我們不難發現，只要是涉及到和「增長」有關的概念，自然常數e就會出現。在大自然中，無論是生物的生長與繁殖，還是放射性物質的衰變……類似於複利問題這樣的增長方式比比皆是。    e代表的是某種「增長的極限值」，是一種內在的規律。如果說π代表了一個完美的圓周長，那麼e就代表了一次完美的增長。     雖然現在人們使用極限運算的概念來定義了e，但是仔細想來，e和π都只是安安靜靜地在數學歷史的長河中等待人們發現的一個「秘密」。無論你學過數學還是沒學數學，e都在那裡，寵辱不驚，頗有種冥冥之中自有e意的感覺……     大噶好，我是e君，要記住我的名字喲     不過，同樣都是自然界的無理數，與π相比，e的名氣也遠遠不如π那麼響亮。    π君發展到了今天，不僅已經有了專屬希臘字母，還有特別節日3月14日和代表食物披薩（霧），其知名程度已經到了數學界內外開花的程度。而e君畢竟比較年輕，定義又比π抽象不少，知名度並不高。    但是這也並沒有妨礙e君圈粉——不如說，即使e君這麼低調，還能成為e君粉絲的人，可以說是相當死忠了——谷歌公司就是一個例子。    2004年，谷歌還是一家蓄勢待發正準備上市的公司，當時谷歌公司在文件中宣布，它將要出售價值為2,718,281,828美元的股票。    這個數字看上去漫不經心，實際上正好是自然常數e的前幾位。由此看來，谷歌公司真的是e君的死忠粉哇！    谷歌為什麼會選擇e作為融資數額我們不得而知，不過作為一顆專注數學好幾年的洋蔥君，還是覺得這個選擇有點浪漫的～ 2004年穀歌上市現場     看過這篇文章之後，是不是覺得自然常數還挺名副其實的？

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編輯 ∑Gemini

 來源：bilibili·洋蔥數學

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