平方和立方和,從此不用記公式

2021-03-01 數學規律

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12+22+32+……n2=

13+23+33+……n3=

經常有人問我數學公式怎麼記，其實死記硬背是記不住的，只有知道公式怎麼來，才能記得住，而且更知道怎麼用。

今天給大家介紹一下，平方和和立方和怎麼算。

先從立方和開始，

13=1×12

23=2×22

33=3×32

43=4×42

……

n3=n×n2

自然數列的立方和，就是分成塊，拍扁了，再拼一起：

13+23+……n3=（1+2+……+n）2

上面的圖片只畫到了3的立方，那麼3以後呢：

無論畫多少個，答案都是成立的。

算自然數列的平方和就要複雜一些。

之前我們學到過，奇數數列的和，正好等於一個平方數：

1+3+5+7+……（2n-1）=n2

那麼反過來，一個平方數，也能夠寫成一個奇數數列。

我們把從1到5的平方拆成奇數數列的和，用不同的顏色表示：

拆完後，紅色方塊有5組，黃色方塊有4組，藍色方塊有3組，綠色方塊有2組，橙色方塊有1組。

同理，如果把從1到n的平方數拆開，長度為1的紅色方塊有n組，長度為3的黃色方塊有n-1組，……，長度為2n-1的方塊有1組。

下一步，我們把兩個n的平方，和紅色方塊擺在一起，可以擺成一個長為2n+1，高為n的長方形：

再把兩個n-1的平方，和黃色方塊擺在一起，就是一個長為2n+1，高為n-1的長方形：

重複這個過程，最後是一個長為2n+1，高為1的長方形：

現在，我們有n個長為2n+1長方形，如果把它們摞在一起：

這個大長方形的橫邊長是2n+1，豎邊長等於1+2+…+n。中間的彩色方塊等於1到n的平方和，兩邊的白色方塊又各等於1到n的平方和，所以整個長方形等於1到n的平方和的三倍：

這個方法，是由Martin Gardner和Dan Kalman各自獨立發現的。

二位，請收下我的膝蓋。

最後，給大家一道題目練下手：

像1，1，2，3，5，8，13，…這樣，從第三項起每一項都等於前兩項的和的數列，叫做斐波那契數列，那麼斐波那契數列的平方和該怎麼算？

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