數制的概念
數制是人們利用符號進行計數的科學方法。數制有很多種，在計算機中常用的數制有：十進位，二進位和十六進位。
數制也稱計數制，是指用一組固定的符號和統一的規則來表示數值的方法。計算機是信息處理的工具，任何信息必須轉換成二進位形式數據後才能由計算機進行處理,存儲和傳輸。 十進位數（Decimal） 人們通常使用的是十進位。它的特點有兩個：有0，1，2….9十個基本數字組成,十進位數運算是按「逢十進一」的規則進行的. 在計算機中,除了十進位數外,經常使用的數制還有二進位數和十六進位數.在運算中它們分別遵循的是逢二進一和逢十六進一的法則. 二進位數（Binary） 二進位數有兩個特點：它由兩個基本數字0，1組成，二進位數運算規律是逢二進一。 為區別於其它進位數，二進位數的書寫通常在數的右下方註上基數2，或加後面加B表示。 例如：二進位數10110011可以寫成（10110011）2,或寫成10110011B,對於十進位數可以不加注.計算機中的數據均採用二進位數表示,這是因為二進位數具有以下特點： 1） 二進位數中只有兩個字符0和1，表示具有兩個不同穩定狀態的元器件。例如，電路中有，無電流，有電流用1表示，無電流用0表示。類似的還比如電路中電壓的高，低，電晶體的導通和截止等。 2） 二進位數運算簡單，大大簡化了計算中運算部件的結構。 二進位數的加法和乘法運算如下： 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10 0×0=0 0×1=1×0=0 1×1=1 八進位數（Octal） 由於二進位數據的基R較小，所以二進位數據的書寫和閱讀不方便，為此，在小型機中引入了八進位。八進位的基R=8=2^3，有數碼0、1、2、3、4、5、6、7，並且每個數碼正好對應三位二進位數，所以八進位能很好地反映二進位。八進位用下標8或數據後面加Q表示 例如：二進位數據 （ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 對應 八進位數據 ( 3 5 2 . 2 6 4 )8或352.264Q. 十六進位數（Hex） 由於二進位數在使用中位數太長,不容易記憶,所以又提出了十六進位數 十六進位數有兩個基本特點:它由十六個字符0～9以及A，B，C，D，E，F組成（它們分別表示十進位數10～15），十六進位數運算規律是逢十六進一，即基R=16=2^4，通常在表示時用尾部標誌H或下標16以示區別。 例如：十六進位數4AC8可寫成（4AC8）16，或寫成4AC8H。 數的位權概念 對於形式化的進位表示，我們可以從0開始，對數字的各個數位進行編號，即個位起往左依次為編號0，1，2，……；對稱的，從小數點後的數位則是-1，-2，…… 進行進位轉換時，我們不妨設源進位（轉換前所用進位）的基為R1，目標進位（轉換後所用進位）的基為R2，原數值的表示按數位為AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……，R1在R2中的表示為R，則有(AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……)R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2 （由於此處不可選擇字體，說明如下：An，A2，A-1等符號中，n，2，-1等均應改為下標，而上標的冪次均用^作為前綴） 舉例： 一個十進位數110，其中百位上的1表示1個10^2，既100，十位的1表示1個10^1，即10，個位的0表示0個100，即0。 一個二進位數110，其中高位的1表示1個2^2，即4，低位的1表示1個2^1，即2，最低位的0表示0個2^0，即0。 一個十六進位數110，其中高位的1表示1個16^2，即256，低位的1表示1個16^1，即16，最低位的0表示0個16^0，即0。 可見，在數制中，各位數字所表示值的大小不僅與該數字本身的大小有關，還與該數字所在的位置有關，我們稱這關係為數的位權。 十進位數的位權是以10為底的冪，二進位數的位權是以2為底的冪，十六進位數的位權是以16為底的冪。數位由高向低，以降冪的方式排列。 進數制之間的轉換 1.二進位數、十六進位數轉換為十進位數（按權求和） 二進位數、十六進位數轉換為十進位數的規律是相同的。把二進位數（或十六進位數）按位權形式展開多項式和的形式，求其最後的和，就是其對應的十進位數——簡稱「按權求和」. 例如:把(1001.01)2轉換為十進位數。 解：（1001.01）2 =1*8+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4) =8+0+0+1+0+0.25 =9.25 把(38A.11)16轉換為十進位數 解:(38A.11)16 =3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方 =768+128+10+0.0625+0.0039 =906.0664 2.十進位數轉換為二進位數,十六進位數(除2/16取餘法) 整數轉換.一個十進位整數轉換為二進位整數通常採用除二取餘法,即用2連續除十進位數,直到商為0,逆序排列餘數即可得到――簡稱除二取餘法． 例：將25轉換為二進位數 解:25÷2=12 餘數1 12÷2=6 餘數0 6÷2=3 餘數0 3÷2=1 餘數1 1÷2=0 餘數1 所以25=(11001)2 同理,把十進位數轉換為十六進位數時,將基數2轉換成16就可以了. 例:將25轉換為十六進位數 解:25÷16=1 餘數9 1÷16=0 餘數1 所以25=(19)16 3.二進位數與十六進位數之間的轉換 由於4位二進位數恰好有16個組合狀態,即1位十六進位數與4位二進位數是一一對應的.所以,十六進位數與二進位數的轉換是十分簡單的. (1)十六進位數轉換成二進位數,只要將每一位十六進位數用對應的4位二進位數替代即可――簡稱位分四位. 例:將(4AF8B)16轉換為二進位數. 解: 4 A F 8 B 0100 1010 1111 1000 1011 所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2 (2)二進位數轉換為十六進位數,分別向左,向右每四位一組,依次寫出每組4位二進位數所對應的十六進位數――簡稱四位合一位. 例:將二進位數(000111010110)2轉換為十六進位數. 解: 0001 1101 0110 1 D 6 所以(111010110)2=（1D6）16 轉換時注意最後一組不足4位時必須加0補齊4位 數制轉換的一般化 1）R進位轉換成十進位 任意R進位數據按權展開、相加即可得十進位數據。 例如：N = 1101.0101B = 1*2^3+1*2^2+0*21+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125 N = 5A.8 H = 5*161+A*160+8*16-1 = 80+10+0.5 = 90.5 2）十進位轉換R 進位 十進位數轉換成R 進位數,須將整數部分和小數部分分別轉換. 1.整數轉換----除R 取餘法 規則：（1）用R 去除給出的十進位數的整數部分，取其餘數作為轉換後的R 進位數據的整數部分最低位數字； （2）再用2去除所得的商，取其餘數作為轉換後的R 進位數據的高一位數字； （3）重複執行（2）操作，一直到商為0結束。 例如： 115 轉換成 Binary數據和Hexadecimal數據 （圖2-4） 所以 115 = 1110011 B = 73 H 2．小數轉換-----乘R 取整法 規則：（1）用R 去除給出的十進位數的小數部分，取乘積的整數部分作為轉換後R 進位小數點後第一位數字； （2）再用R 去乘上一步乘積的小數部分，然後取新乘積的整數部分作為轉換後R 進位小數的低一位數字； （3）重複（2）操作，一直到乘積為0，或已得到要求精度數位為止。單片機相關文章:單片機教程
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