DFT之窗函數

DFT學習筆記，是關於DFT的變換公式以及其的一些特性

DFT之洩露，關於洩露的現象以及產生的原因；

今天這篇，主要是關於窗函數。

窗函數

為了減小DFT的洩露，需要減小主瓣寬度和旁瓣幅度；理想的窗函數是主瓣寬度窄，旁瓣幅度小。

矩形窗函數首尾值的突變，是其產生旁瓣的原因。所以，可以通過將輸入序列的首尾數據平緩連接，以減小旁瓣的幅度，進而減小DFT的洩露。

所以，各種各樣的窗函數就被發明了，常用的窗函數有:矩形窗函數、Hanning、Hamming窗函數、Blackman等。

 

上圖是上面四種窗函數的時域和頻域的表示。

從頻域可以看到，主瓣幅度rect>hamming>hann>blackman，這在時域也比較好理解。

因為Hanning、Hamming和Blackman函數都減小了用於DFT運算的時域信號幅度，所以其主瓣幅度低於矩形窗函數的主瓣幅度，這個幅度損失，稱之為處理增益或者處理損耗(processing gain/processing loss)。

 

將上圖中的右圖的幅度歸一化，可以得到：

可以看到:

(1) 從主瓣寬度來看：rect<hamming<hann<blackman;

(2) 從旁瓣大小來看：rect>hamming>hann>balckman

 

對信號加窗函數，有助於我們識別大信號旁邊的小信號。

比如，我們對xn=sin(2*pi*1800*n/fs)+0.0001*sin(2*pi*1950*n/fs)做加窗操作，並作2048點的DFT變換，其中fs=8000.

Matlab程序如下：

clc;

clear all;

close all;

 

K=2048;

n=0:1:K-1;

fs=8000;

xn=sin(2*pi*1800*n/fs)+0.0001*sin(2*pi*1950*n/fs);

figure (1);

plot(n,xn);

 

figure (2);

subplot(2,2,1);

m=0:1:K/2;

Y=fft(xn'.*rectwin(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y(1:(K/2+1)))/max(abs(Y(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('rect')

 

subplot(2,2,2);

Y1=fft(xn'.*hamming(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y1(1:(K/2+1)))/max(abs(Y1(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('hamming')

 

subplot(2,2,3);

Y2=fft(xn'.*hann(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y2(1:(K/2+1)))/max(abs(Y2(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('hann')

 

subplot(2,2,4);

Y3=fft(xn'.*blackman(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y3(1:(K/2+1)))/max(abs(Y3(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('blackman')

運行結果如下圖所示:

 

可以看到，如果使用rect和hamming這兩種窗函數的話，則不能識別出小信號；但如果用hann或者blackman這兩種窗函數的話，則能識別出大信號旁邊的小信號。

選擇窗函數，需要根據應用情況，在主瓣寬度、第一旁瓣幅度、旁瓣的衰減速度之間的折衷。

 

參考文獻：

[1]RICHARD G. LYONS Understanding digital signal processing

[2]J. Fessler, chapter 5, The Discrete Fourier Transform

  

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