邏輯回歸是機器學習中經常用到的一種方法，其屬於有監督機器學習，邏輯回歸的名字雖然帶有「回歸」二字，但實際上它卻屬於一種分類方法，本文就介紹一下如何用邏輯回歸進行分類。
首先還是介紹一下邏輯回歸的基本原理。
圖1. 邏輯函數圖形
邏輯回歸之所以叫「邏輯」，是因為其使用了Logistic函數（也稱Sigmoid函數），該函數形式如圖2中式（1）所示，圖形如圖1所示。既然邏輯回歸是分類方法，那麼我們這裡就以最簡單的二分類來說明一下，二分類的輸出標記為 y=0或1，而線性回歸產生的預測值z = ω^Tx+b，我們讓t=z，把z的表達式帶入到式（1）中得到式（2），再做變換就得到式（3）。y是我們要求的正例，1-y則是反例，二者比值則可稱為機率，所以式（3）可以稱作「對數機率」。接下來我們要求解ω和b，用的是極大似然估計法。我們將y視為後驗概率估計p(y=1|x)，那麼就可以得到圖3中的式（4）和（5）。接下來令β=(ω;b)和x=(x;1)，可得到式（6），由式（6）的得到圖4中（7）、（8）和（9），（9）就是目標函數，對目標函數求解得到最優參數即可。這些推導比較複雜，筆者在這裡僅列出了主要部分，大家如果有興趣，可自行查閱相關資料。
圖2. 邏輯回歸推導公式（1）—（3）
圖3. 邏輯回歸推導公式（4）—（6）
圖4. 邏輯回歸推導公式（7）—（9）
在了解邏輯回歸的基本原理之後，我們再用一個例子來介紹一下邏輯回歸的用法。
本文中我們使用的邏輯回歸模型來自scikit-learn，用到的數據集也同樣來自於scikit-learn，代碼如下。
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import classification_report
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2,
n_informative=2, n_redundant=0, n_clusters_per_class=1,
class_sep = 2.0, random_state=15)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], marker='o', c=y)
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()圖5. 本例中所用數據點
其結果如圖5所示。這個數據集是我們用make_classification方法生成的，共100個點，一共兩個特徵（維度），所有數據共分為兩個類。從圖中可以看出紫色的點分為一類，黃色的點分為另一類。然後對數據集進行一下劃分，分為訓練集和測試集，代碼如下。X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.30, random_state=30)
在這裡，我們設置測試集的數據個數為30個，隨機狀態random_state為30，這個數字可以隨意設置。接下來我們用邏輯回歸來進行一下訓練和預測，結果用classification_report方法輸出。
model = LogisticRegression() #生成模型
model.fit(X_train, y_train) #輸入訓練數據
y_predict = model.predict(X_test) #輸出預測數據
print(classification_report(y_test, y_predict)) #生成預測結果報告預測結果如圖6所示。從圖6中我們可以看出該模型的accuracy為0.97，因為我們的測試數據共有30個，所以這意味著我們只有1個點預測錯了，說明該模型的分類效果還是非常不錯的。
圖6. 模型結果報告
然後為了讓大家對該模型的分類效果有一個進一步的了解，筆者在這裡再深入研究一下，我們再來看看邏輯回歸模型的分類邊界，即該模型是從哪裡開始進行劃分的，代碼如下。
step = 0.01 # 相當步長，越小點越密集
x_min = X[:, 0].min() -1 #設置mesh的邊界
x_max = X[:, 0].max() + 1
y_min = X[:, 1].min() - 1
y_max = X[:, 1].max() + 1
x_mesh, y_mesh = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, step), np.arange(y_min, y_max, step))
data_mesh = np.stack([x_mesh.ravel(), y_mesh.ravel()], axis=-1) #把mesh轉換為2列的數據
Z = model.predict(data_mesh)
Z = Z.reshape(x_mesh.shape)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
plt.pcolormesh(x_mesh, y_mesh, Z, cmap=plt.cm.cool) #畫出mesh的顏色
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.ocean)
plt.show()這裡代碼有些複雜，解釋一下。我們的設計思路是這樣的，因為本次使用的邏輯回歸模型是一個二分類模型，也就是將結果分為了兩個類，那麼我們把模型中每個類的區域用一種顏色標出，這樣就有兩種顏色。落入每個區域的點就屬於這個區域，也就是這個類。x_mesh, y_mesh = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, step), np.arange(y_min, y_max, step)) 這行代碼就是得到整個區域（也就是兩個類的區域之和）的點，這個區域比我們用到的數據集的範圍大一些，x_min、x_max、y_min、y_max就是整個區域的邊界。data_mesh = np.stack([x_mesh.ravel(), y_mesh.ravel()], axis=-1) 這行代碼就是把上面整個區域中的點轉換為2列的數據，便於後面預測，Z = model.predict(data_mesh)就是區域每個點的預測值，我們再用plt.pcolormesh和plt.scatter分別畫出區域顏色和數據點的顏色，就能清楚看到那些點在哪個區域中。其結果如圖7所示。
圖7. 用不同顏色來表示不同的劃分區域
從結果中可以看出，有一個綠色的點落入到了錯誤的區域中，說明這個點預測錯了，這和我們前面classification_report得到的結果一致。
邏輯回歸在機器學習中的使用非常廣泛而且效果也不錯，但其也有一些缺點，比如不能解決非線性問題、對多重共線性數據較為敏感、很難處理數據不平衡的問題等。其原理也要比筆者介紹的複雜不少，想要深入了解的讀者可以自行查找相關資料來學習。