第17講 等腰三角形
考點分析
1、等腰三角形
2、等邊三角形
思想方法
基本方法：
求等腰三角形腰上的高，在所給條件不確定的條件下，應按頂角為銳角和鈍角兩種情況來考慮：(1)當頂角為銳角時，腰上的高在三角形內部；(2)當頂角為鈍角時，腰上的高在三角形外部．
基本思想：
分類討論思想，當相等的邊不確定時，要分三種情況討論；當角的指代不明顯時，要分兩種情況討論。
真題精選
例題精講
類型一 等腰三角形的性質與判定
【解後感悟】（1）首先根據已知條件分別計算圖中每一個三角形每個角的度數，然後根據等腰三角形的判定：等角對等邊解答，做題時要注意，從最明顯的找起，由易到難，不重不漏．（2）解答此類問題時要注意角的指代明確性：頂角還是底角、內角還是外角；對沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況分類討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答．
類型二 等邊三角形的性質與判定
【解後感悟】解題的關鍵是利用現有圖形或畫出圖形，利用等邊三角形的性質及勾股定理，揭示圖形之間的數量關係來解決問題．
類型三 等腰三角形構造的分類討論
【解後感悟】（1）由於等腰三角形的頂角和底角沒有明確，因此要分類討論；
（2）分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結合三角形內角和定理求解即可．
類型四 等腰三角形的探究問題
【方法與對策】(1)①通過角的計算找出∠ACD＝∠BCE，再結合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出「AC＝BC，DC＝EC」，利用全等三角形的判定(SAS)即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結論AD＝BE；②結合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通過角的計算即可算出∠AEB的度數；(2)根據等腰三角形的性質結合頂角的度數，即可得出底角的度數，利用(1)的結論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度，二者相加即可證出結論．這類探究性問題，往往從特殊到一般，積累經驗，利用前小題的結論或方法解決問題．這類問題是中考的熱點題型．
類型五 等腰三角形的綜合運用
【解後感悟】本題以「空間與圖形」中的核心知識(如等邊三角形的性質、全等三角形的性質與證明、直角三角形的判定、多邊形內角和等)為載體，內容由淺入深，層層遞進，試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊含著豐富的思想方法(如運動變化、數形結合、分類討論、方程思想等)．
專題小結
1、在同一個三角形中證明邊相等或角相等的方法主要是等邊對等角或等角對等邊，在兩個不同三角形中，證明兩條邊相等或角相等的方法是利用全等三角形．
2、幾何常見圖形「8」字圖，其基本構成過程是：
(1)把三角形的中線加倍，即CD是△ABC的中線，延長CD至F，使DF＝CD；
(2)D是AB的中點，BF∥AC；
(3)沒有明確腰或底邊的等腰三角形或沒有明確頂角或底角的等腰三角形問題，解決時常常需要分類討論．
3、角平分線＋平行線可以得出等腰三角形．
4、利用等腰三角形的腰相等，可以實現化曲為直，實現線段求解或周長求解．
5、內心可以看作三角形三條角平分線的交點．
6、平移可以看作平行線．
7、等腰三角形可以作一條線段繞其中一個端點旋轉一個角度，交於另一個端點連接得到的圖形．
8、外心可以看作三角形三邊垂直平分線的交點．