速解圓的切線方程

2022-01-01 高考數學左老師

圓的切線問題有兩種，一種為過圓上一點的切線，一種為過圓外一點的切線.

今天說說「過圓上一點」的速解小公式.


通法：d=r

處理直線和圓的相切問題，通常利用圓心到直線的距離等於圓的半徑、或切線垂直於過切點的半徑建立方程求解，比較少利用聯立方程法，後者運算量略大一些.

如下圖所示，我們來推導切線的方程.


為保證斜率存在，我們先討論切點不在坐標軸上的情況.


當點M在坐標軸上時，可以驗證上述方程同樣適用.

用結論速解小題

這樣的小結論有利於我們提高解題速度.

比如下面這道小題，你能秒解嗎？


用我們剛才的小結論，可迅速得到結果為：


其實用處也不是特別大，對於計算能力弱一些的童鞋，還有點用.

拓展到一般的情況

有同學會問：如果圓的圓心不在原點的話，切線也有類似的小結論嗎？

好吧，我們把問題進一步拓展，研究過圓心不在原點的圓上一點的切線方程.


求解方法和上面一樣，只不過解題過程更複雜一些.


當CM或切線斜率不存在時，經驗證上述方程也適用.

有規律的結論才值得我們記憶和使用

圓錐曲線部分的二級結論非常多，只有那些常考、而且結論有規律、易已經的，才值得我們花功夫.

觀察這個方程的形式，我們發現非常容易記憶，相當於把圓方程中的平方式保留一半，另一半用切線的橫縱坐標分別代替x和y.

我們來小試牛刀.


根據上述結論，平方式保留一半，替換一半即可.


拓展到一般式方程

有好奇的童鞋接著問：如果所給方程為一般式呢？有沒有類似的小結論呢？


研究方法和前面兩道完全一樣，我們直接給出結論.（有興趣的童鞋可自行推導過程）


大家會發現，這個結論也好記憶：把圓方程改寫為x和y成對出現的形式，然後保留其中一個，把另外一個換成切點的橫坐標和縱坐標即可.

我們來秒殺下面這道題.


用上面的結論解題，首先改方程，然後代入切點坐標即可.


當然，用常規的方法解題也不麻煩.

用小公式解題的優勢除了速度略快之外，更重要的是在於減少了中間計算的過程，使我們犯錯的機會降低了，尤其適合解小題.

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