賈恩東 發表於 2020-10-12 11:25:57
本文通過案例介紹了正態分布和貝塔分布的概念。
正態分布
正態分布，是一種非常常見的連續概率分布，其也叫做常態分布（normal distribution），或者根據其前期的研究貢獻者之一高斯的名字來稱呼，高斯分布（Gaussian distribution）。正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。
各種各樣的心理學測試結果和物理現象的觀測值，比如光子計數等都被發現近似地服從正態分布。甚至生活中很多現象的表徵結果也符合正態分布的分布規律。儘管這些現象的根本原因經常是未知的，甚至被採樣的樣本的原始群體分布並不服從正態分布，但這個變量的採樣分布均值仍會近似服從正態分布。
正態分布的概率密度函數呈左右對稱的鐘形，其具體表達式為：
因為正態分布是如此的常見而這個式子是如此的奇怪，我們打算重溫高斯當年的推導過程，但部分細節不會那麼嚴謹的證明，只是帶領大家看看高斯當年的思路是如何的。
首先，高斯事先假定了如下條件，才得到了正態分布的連續密度函數。
即： 誤差分布導出的極大似然估計 = 算術平均值
這裡我們把全部過程用直白的語言複述一遍。
貝塔分布
貝塔分布，beta分布，簡單來說，就是一個事件出現的概率的概率密度分布。
舉個例子，籃球比賽的三分命中率是衡量籃球後衛運動員很重要的一個指標。通過過去的歷史經驗，我們知道運動員的三分命中率很難超過40%。假如老張是一個優秀老練的籃球後衛，其過去歷史的三分命中率是35%，總投數為10000次，命中次為3500次。請問他在新賽季剛開始的時候，得到了一次三分投球機會，請問他這次投中的概率服從什麼分布呢？
我們必須清楚，這個概率一定不是確定的，而是服從某種分布。這個概率密度分布函數應該在0.35處最大，沿兩邊逐漸遞減。
這個概率就服從beta分布。確切的說，是服從
還有個運動員小張，而小張很年輕也很優秀，他的歷史三分命中率也是35%，但是總投數為1000次，命中次數為350次。請問他在新賽季首投三分，命中概率的分布和老張一樣嗎？
明顯不一樣！雖然他們的歷史投球命中率都是35%，但是我們直覺認為老張比小張更靠譜，老張首投命中的概率密度分布應該在0.35附近高於小張的。事實上，我們可以迅速藉助python的scipy庫中內置的beta統計方法。
我們來看一下圖像。
的確如此。那麼beta分布的具體表達式是什麼呢？
關於伽馬函數和貝塔函數，這裡我們不做贅述。
需要指出的是，看起來beta分布的概率密度函數和高斯分布的曲線很像，實則不然。
再舉個例子，假如老張的孫子也想做做運動員，老張煞有介事的統計了小小張的歷史三分投數，為5投1中。問他下一次投球，也就是第六次投球，命中的概率的分布是怎樣的？如果過去是5投2中，5投3中，和5投4中呢？
可以看到，beta分布的PDF和高斯分布的曲線形狀差別可大了。
編輯：hfy
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