「學習應該應用於實踐，實踐讓你的迷惑茅塞頓開。」
文：藍兔子讀難NOTES
圖： 配圖 來源於網絡
編碼：0007
[Quantitative Methods]
[Common Probability distribution-1]
上一篇文章我們講了概率論基礎，什麼是隨機事件，什麼是隨機事件的結果，以及隨機事件之間的關係，是相互獨立的，還是相互排斥的。在弄清楚了概率論基本的概念之後，我們又進一步講解了概率的加法和乘法公式，並在乘法公式的基礎上，引出了貝葉斯公式。雖然貝葉斯當時在研究這個公式時，只是想要證明上帝的存在，但是他並沒能找到我們的造物主。反而是在當今，貝葉斯公式已經廣泛應用於數據科學中，無論是天氣預測還是醫藥測試都有貝葉斯公式的應用[1]。
如果你還是不明白貝葉斯公式的重要性，我這麼跟你說：因為蘑菇彈的存在世界的歷史被分成了兩半，而因為貝葉斯公式，統計學被分成了兩半，其中一半就叫做貝葉斯學派。在最新的發展中，貝葉斯公式已經在人工智慧領域大規模應用。也許多年以後，我們的人工智慧會通過貝葉斯公式找到他們的造物主。
在後面的內容中，我們又進一步解釋了期望和方差相關的概念。期望代表者預期會得到的結果（概率加權），通常用在金融工具的收益計算中，而方差代表著收益的不確定性，用來衡量資產的風險。對於一個資產組合來說，用協方差來衡量其不確定性。
在了解了概率的相關概念之後，我們這篇文章，將會來說說那些非常重要或者常見（很大程度上，因為常見所以重要）的概率分布，他們實際上代表了很多前輩為我們總結的客觀規律。有了前輩們的總結，我們想要造車，就不用去做炫酷的PPT了，哦不，是就不需要去重新造輪子了。那下面，我們就直接去把前輩們的輪子搬回自己家吧。
基本概念和術語
為了更好的學習這篇文章的內容，我們先複習一下上篇文章中的兩個概念：隨機事件和隨機變量。隨機事件，某件事情的結果具有不確定性，任何一個結果發生都是一個隨機事件發生，而發生的結果就是隨機變量的值。以拋骰子為例，隨機事件就是拋出骰子得到一個數，這個具體的數會是多少，是不確定的，叫做隨機變量。接下來，我們開始介紹概率分布相關的概念。
概率分布(probability distribution)：某一個事情有多個可能的結果，每一個結果發生，都各自對應一個概率。發生的結果和其概率的函數關係就叫做概率分布。根據事情發生結果的不同，可以分為離散隨機變量和連續隨機變量，對應的就是離散概率分布和連續概率分布。離散概率分布(discrete distribution)，最常見的就是丟硬幣和拋骰子了，每次事件的結果的可能性是有限的或者可以數出來的。丟硬幣無非正反兩個結果，拋骰子也就6個結果。因為離散的結果一般是有間距且有限的，可以用表格或者方圖來記錄。
連續概率分布(continuous distribution)：與離散概率分布相對，其事件的結果具有無限多種且根本就不能數，比如量同學的身高。每一位同學的身高都有無限種可能，哪怕是在175mm和176mm之間，也能量出無限種可能。連續概率分布一般使用概率密度函數(probability density function | PDF)來描述。
正是因為連續概率隨機變量的結果可能為無數多個，我們可以近似認為某一確定的結果發生的可能性近乎為0，所以其有如下性質：
一般衡量事件出現在某個區間內的概率，如上圖的陰影區域就是結果在(a,b)的概率；認為某個點上的概率為0，即P(a)=P(b)=0，所以1中使用開區間還是比區間不影響；因為一個事件所有結果的概率和為1，所以上圖中曲線與x軸圍成的面積為1。累積分布函數(cumulative distribution function | CDF)：在前面說統計相關內容時，當時也出現過累積相關的概念。所謂累積，就是在當前這個值之前的都算，以隨機事件x為例，PDF表示為P(x)=P(x),而CDF表示為F(x)=P([-∞,x])，一般CDF用F表示。
對於CDF來說，在上圖中，如果把結果在a到b之間的概率記為P([a,b]),則P([a,b])=F(b)-F(a)。
常見離散概率分布
這裡要說的離散概率分布一共有3個：離散的均勻分布(uniform distribution)、伯努利分布(Bernoulli distribution)和二項分布(binomial distribution)。下面，一個一個來看。
均勻分布，應該是最簡單的一個了。比如我們丟硬幣，結果就是5/5開，正反面都是50%；拋骰子雖然結果有6種，但是每一個面的概率也是一樣的。均勻分布指的就是，無論有多少種可能的結果，但出現每一種可能的結果的概率是相等的。
伯努利分布，也挺簡單的，最典型的例子還是丟硬幣，伯努利分布就是結果只有兩種的分布。要麼成功，要麼失敗，但是成功和失敗的概率無需對等。聯繫前面說過的賠率，如果進行單次比賽，這次比賽的結果就是伯努利分布，有可能輸有可能贏，且無需五五開。
二項分布，怎麼說呢，也許是覺得一個簡單的伯努利分布很難在數學史上名垂千古，伯努利想到了一個絕妙但卻「無聊」的辦法：把簡單的事情重複做。通過把硬幣一直丟這種方式，伯努利在伯努利分布的基礎上搞出了二項分布，教科書式的說法，把伯努利實驗重複n次就是二項分布。但是有兩個點要注意：
每次實驗是一樣的，成功為p，失敗為1-p；每次實驗是一樣的，不受上次影響，不影響下次，成功為p，失敗為1-p。n次實驗成功x次的概率，用大白話表示為：
從n次裡面取出x次來成功，沒有順序要求，nCr；x次成功，概率為p*p*p*～*p(x個)，n-x次失敗，失敗的概率為((1-p)*(1-p)*~*(1-p)(n-x個))。這三個事情同時發生，就是n次實驗成功x次的概率：
最後，再記住這麼一個結論就好啦：
這個難記嗎？不難吧，看看這規律，二項分布他不就是n個伯努利嘛！
最後的最後，還有一個股價二叉樹(binomial tree)的問題。舉個例子，某隻股票每期要麼漲(up)要麼跌(down)，問4期之後，股票價格為uudd的概率為多少。其實只要從四期裡面選兩期來d，剩下兩期來u就可以了，解法同上面的二項分布。
常見連續概率分布
模擬分析
由於前面的廢話說得有點多，顯然字數是要超標了，而後面又有非常重要的正態分布，所以連續概率分布和模擬的內容放到下篇文章中，請大家自行查閱。
部分資料來源：
[1] Quartz Daily Brief . The most important formula in data science was first used to prove the existence of God
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