結合工程實際,介紹了橢圓旋轉樓梯的微分幾何數學模型,闡述了樓梯施工放樣的基本方法,即根據已知兩端點的參數,進行橢圓弧長等分。
橢圓弧長積分結果無法用解析解顯式表示 ,利用泰勒級數推導出弧長積分的近似解析解,然後利用 New2 ton迭代法手算各弧長等分點對應的參數 t,從而求出橢圓旋轉樓梯各控制點的坐標。
同時利用 Matlab軟體編程計算進行校驗。比較手算和機算結果,發現該解析解完全滿足工程設計要求。
這種方法還可以用於以其他方式旋轉樓梯的施工放樣。
橢圓只有兩條對稱軸 ,弧上每點曲率均在變化 , 弧長積分無法用簡單的解析函數表達。橢圓等距線並不是橢圓 ,橢圓產生橢圓螺旋線、直紋曲面均給計算帶來很大難度。因此 ,橢圓螺旋樓梯的施工放樣和內力分析是個相當複雜的過程 ,國內外相關研究較少[ 1 - 3 ] 。
20世紀 80年代末國際知名建築大師丹下健三曾在約旦哈西姆宮的 5 個不同使用功能的大廳裡 , 設計了 5種不同的橢圓旋轉樓梯。本文以其中某一會客廳內的橢圓螺旋樓梯為工程背景。
該橢圓旋轉樓梯中心線的水平投影為橢圓 ,其長半軸為 4. 2 m, 短半軸 2. 4 m;梯寬 1. 2 m,內邊線與外邊線的水平 投影為兩條與橢圓中心線相距 0. 6 m 的橢圓等距線。踏步按照弧長等分進行定位。樓梯右向旋轉。旋轉一周上升高度為 10. 2 m。利用微分幾何方程建立樓梯的數學模型之後 ,便可根據弧長等分進行精確的施工放樣。鑑於當時計算機尚未普及 ,推導出橢圓弧長近似積分公式 ,然後利用該公式進行放樣計算。
同時文中還利用 Matlab軟體編程計算並比較 ,結果表明該公式的精確程度完全滿足工程要求。
將休息平臺簡化為連續梯段的一部分。直紋曲面 S ∶r( t, v) 由兩個參數 t和 v控制。給定參數 v, 可以得到一組 t線 , 樓梯的中心曲線、內外邊線包含在這些 t線中 : v = 0時即為中心線橢圓螺旋線 LR , 樓梯的內外邊線則分別是中心曲線 LR 在主矢方向上的等距線 LR·E ( v0 分別為 600、- 600) 。給定參數 t則可得到一組 v線 , v線是一組平行於 x0y平面的直線 , 方向正好為橢圓螺線的法線方向 , 因此 , 樓梯踏步的邊線就屬於 v線 [ 4 ] 。
如圖 1所示。t線和 v線是直紋面上的兩組正交曲線。整個橢圓旋轉樓梯分布在光滑連續的空間直紋曲面上。橢圓旋轉樓梯中心曲線橢圓螺旋線 LR 在 x0y平面上的投影為橢圓曲線 r( t) 。如橢圓螺旋樓梯模型圖 1所示 , 各參數方程等見表 1。
由上述分析可知橢圓弧長
式中 :ρ = ( a sin t) 2 + ( bcost) 2 , 稱為橢圓弧長的導數。橢圓弧長屬於第二類勒讓德 (Legendre) 橢圓積分 , 積分結果無法用解析解顯式表示 [ 5 ] 。
橢圓樓梯施工放樣和力學分析時將進行 t和 l ( t) 之間的互逆運算。求解橢圓弧長 l ( t) 關於參數 t的解析表達式 , 既可以進行手算 , 同時可以與機算結果互相校 核。利用 1 + x2 在其收斂半徑 | x | ≤ 1內的二項級數展開式 , 將橢圓弧長積分展開為級數表達式 , 從而求出橢圓弧長的近似解析解 :
由於橢圓弧長為定值 , 故展開式 ( 2) 在其收斂半徑內是收斂的 , 並且可以逐項積分。將偏心率 e = 1 - ( b / a) 2 = 0. 820 54 代入上式 , 並取上式的前十項進行積分 , 作為近似值 l ( t) 10 , 誤差用ε( t) 表示 , 則有 l ( t) = l ( t) 10 +ε( t) , 且有
再將 a = 4 200, b = 2 400代入上式 , 得 l ( 2π) 10 = 21 123. 276 8,與利用 Matlab編程算出來的精確值 21 121. 897 33相比 ,誤差為 0. 065‰, 非常接近, 表明 ( 3) 式可以當作橢圓弧長計算公式的近似解析解。
清楚了橢圓旋轉樓梯的幾何性質 ,並用數學語言準確描述之後 , 就可以進行施工放樣。根據建築圖 , 樓梯中心線上踏步的起點 A1、中間休息平臺A18和 A19點、以及踏步的終點 A33均已經確定 ,同時已知 A1 ～A18、A19 ～A33之間分別有 17個和 14 個等分的踏步 ,如圖 2所示。
施工放樣實際上變成了求解 A1 ～A18之間的 17個等分點、A19 ～A33之間 的 14個等分點所分別對應的參數 t。已知橢圓弧長反求 t的過程中 , 無論採用精確計算公式 ( 1) 還是近 似計算公式 ( 3) , 都採用 New ton迭代法 , 即給定適當的初始值 t代入公式進行計算 , 直至計算出的弧長 與等分弧長誤差滿足要求 [ 6 ] 。求出中心線各點對應的參數 t, 就可求出中心線上等分點 A i的坐標。
樓梯的踏步屬於直紋曲面的 v線 , 平行於 xoy平面 , 所以內、外邊線的等分點 B i 和 Ci 的 z坐標等同於中心線上等分點 Ai 的 z坐標。v線垂直於中心曲線 t 線 , 所以直線 B i Ai Ci 平行於中心曲線 Ai 點處的主法矢方向。中線曲線 , 即螺旋曲線 , 在水平面上的投影為橢圓 , 任一點 Ai 處的法角大小為 :
β = arctank 法 = arctan a tan t b=bcost arccos ρ( t) = arcsin a sin t ρ( t)
如圖 3, 根據參數 t、法角 β和距離 v0 , 利用橢圓 參數方程 L ∶r( t) 和橢圓等距線方程 LE ∶r( t) 進行直角坐標放樣;或者利用橢圓旋轉角 θ的參數方程 , 進行極坐標放樣。參數 t (亦稱之為橢圓離心角 ) 和旋轉角θ的關係如圖 4所示 ,θ = arctan ( b tan t / a) , 以θ β = arctank 法 = arctan a tan t b 為參數的橢圓方程為 :
這樣橢圓旋轉樓梯的中心線、內外邊上各等分點 Ai 、B i 、Ci 的坐標均已求出 , 即可進行施工放樣。同時根據各點在水平面上的投影 , 可以製作樓梯踏步的面磚等。 Ai 、B i 、Ci ( i = 2 ～ 17) 計算流程見圖 5, 其中的參數等分變量 tn = 4. 543 57, 弧度等分變量 ln = 271. 817 56。
手算和 M atlab編程計算結果十分接近 , 現摘錄手算參數 t的計算結果見表 2。i = 20 ～ 32時計算方法類似。另一半對稱即可。
結合實際工程背景 ,依據橢圓螺旋樓梯的微分幾何數學模型 ,進行該樓梯的弧長等分施工放樣。推導出橢圓弧長計算公式的近似解析解 ,並依此迭代手算各弧長等分點相對應的參數 t。同時利用Matlab軟體編程對橢圓弧長的精確公式進行計算。
手算和機算的結果比較 ,表明該近似解析解的精度完全滿足工程設計的要求。
註明：本文摘自網絡整理編輯
參考文獻：
[ 1 ] 孫培生,孫培華. 鋼筋混凝土樓梯設計手冊 [M ].
北京: 中國建築工業出版社, 1999.
[ 2 ] 時旭東,丁大益. 橢圓形旋轉樓梯內力分析及機算[ J ].
清華大學學報 (自然科學版) , 2003, 43 ( 6) : 844 - 848.
[ 3 ] 何育忠. 螺旋樓梯的施工立模放線方法 [ J ]. 珠江水運, 2003 ( 11) : 42 - 43. [ 4 ] 陳維恆. 微分幾何 [M ]. 北京:北京大學出版社, 2006.
[ 5 ] 現代工程數學手冊編委會. 現代工程數學手冊
(第 I卷 ) [M ]. 武漢:華中工學院出版社, 1985.
[ 6 ] 張德豐. Matlab數值分析與應用[M ]. 北京:國防工業出版社, 2007.
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