來認識一下哥德爾不完備定理

2020-09-03 藕絲空間東方鶚

哥德爾不完備定理：「任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。」

到20世紀初，數學經過2000多年的發展，已經是開花結果，碩果纍纍了，湧現出了從畢達哥拉斯，到牛頓、萊布尼茨，再到黎曼、戴德金、康託爾等等，等等一大批如雷貫耳的牛人，這時，這些不安分的牛人們，已經開始蠢蠢欲動，要建立整個數學大廈的基礎了。

在1900年的國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就非常興奮地宣稱：藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈，可以說絕對的嚴格性已經達到了。

但是，天不隨人願，作為整個數學大廈基礎的集合論，就是康託爾這貨發明的那套理論，被輕輕一戳，倒了。你說，你要是作為一個數學家，該多麼的沮喪啊，自認為高大上的老祖宗，原來是個贗品（現代的思密達和國中哈士奇該多麼顏面無存啊）。

於是，天下大亂——括號，數學界。

但是，亂世出英雄。

在1931年， 奧地利裔美國著名數學家哥德爾提出了哥德爾不完備定理，明確的指出：任何一個數學系統，（1）只要它是從有限的公理和基礎概念中推導出來的，（2）並且從中能推證出自然數系統，就可以在其中找到一個命題，對於它，我們既沒有辦法證明，也沒有辦法推翻。

哥德爾

說得再直白點就是：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。—— 我們的數學系統能不包含初等的算術運算嗎？當然不能。初等的算術運算是如何來的？細思極恐！

那麼，你們這些不會泡妞，只會沉迷於自己世界的無聊之人，別再爭論數學大廈的基礎了，數學這玩意兒，你們用得舒服，能解決問題就行了。

嗯，這個紛亂雜吵的世界終於無聲了。

相關焦點

  • 哥德爾不完備定理
    這八十多年年來，常在不同的領域內，發現到這個定理的影響，而這個定理在不同領域中的應用，甚至引起了相當的爭議。哈佛大學於1952年授與哥德爾榮譽科學博士學位，稱他為「本世紀最重要數學真理的發現者」， 這裡所指的數學真理即為「不完備定理」。
  • 專欄 | 聊聊哥德爾不完備定理
    theorems如果你要我說一個和廣義相對論一樣對人們的思想觀念有著深刻影響的數學定理，我會毫不猶豫地說，哥德爾不完備定理。悲劇的是，哥德爾不完備定理雖然奠定了哥德爾的地位，但是粉碎了希爾伯特的夢想，準確來說是粉碎了所有數學家的夢想。他們向歐幾裡得借鑑數學公理化，渴望著數學能夠形式化，構成一個完備的形式化系統，可哥德爾不完備定理就像一把利劍，斬斷了數學家的去路。那麼，之後的數學該何去何從？
  • 什麼是哥德爾不完備定理?
    哥德爾不完備定理我們先來看不完備定理說了什麼——第一不完備定理一個包含皮亞諾算術的形式系統如果是一致的那麼是不完備的。第二不完備定理對於一個包含皮亞諾算術的形式系統，該系統的一致性不能在系統內部證明。我先來解釋一下皮亞諾算術是什麼。
  • 哥德爾不完備定理」到底說了些什麼?
    近期，我在認真研讀了哥德爾論文原文（英譯版，本人實在是不懂德文）和相關資料的基礎上，加深了自己的認識，同時也很希望儘自己綿薄之力，分享對「哥德爾不完備定理」的理解，釐清對「哥德爾不完備定理」的誤解。「哥德爾不完備定理」是數學、邏輯學領域的劃時代成果，使人們對於數學研究基礎的認識更加深刻、準確，同時它也是現代邏輯史上的重要裡程碑。
  • 認識世界本質的一個及其重要的數學規律:哥德爾不完備定理
    說「在一個非常大的數學命題集合中，總會有許多命題，既無法證明是對的，也無法證明是錯的」我對這個宇宙的目前的認識是，這個世界的底層是數學，數學比生物、
  • 再談哥德爾不完備定理
    保守性：證明可以不依賴『理想對象』（比如不可數集合）。而且更重要的是，這四個性質還要在這個系統內被證明。這個想法倒是非常美好，但就在希爾伯特退休後一年，即1931年，哥德爾的兩條不完備定理直接宣判了希爾伯特計劃的死刑。3.
  • 哥德爾不完備定理及其哲學意義
    哥德爾寫道「眾所周知，數學朝著更為精確方向的發展，已經導致大部分數學分支的形式化，以致人們只用少數幾個機械規則就能證明任何定理。因此人們可能猜測這些公理和推理規則足以決定這些形式系統能加以表達的任何數學問題。下面將證明情況並非如此。」哥德爾第一條定理指出，若形式系統是相容的，則此系統必定是不完備的。
  • 哥德爾不完備定理
    哥德爾與好友愛因斯坦 　　這就不得不說到哥德爾在1931年證明的一個定理——「哥德爾不完備定理」，正是這個定理讓哥德爾名垂千古。 　　舉世聞名的費馬大定理就曾經讓數學家陷入這樣的困惑。在三百多年的漫長探索中，很多數學家對費馬大定理是否能證明或給出反例都表示出了極大的悲觀。而另外兩個世界知名的數學難題——哥德巴赫猜想和黎曼猜想，由於哥德爾提出了幽靈般的不完備定理，迄今為止，也被少數數學家悲觀地預測為不能證明也不能否證的問題。
  • 基於人的認知原理來理解哥德爾不完備定理
    哥德爾不完備定理指的是：「任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。」不完備定理意味著，「無矛盾性」和「完備性」不能夠同時滿足，這種性質與測不準原理有相似之處。
  • 關於宇宙的10件奇異之事 偉大的哥德爾不完備定理!(10)_遊俠網 Ali...
    1.哥德爾不完備定理(Gödel’s incompleteness theorems)庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel）於1913年證明了這組定理，它指出，除了最簡單的定理之外，任何一組給出的邏輯定理都不可避免地會涉及到自我引證（self-referential），即稍稍複雜點的定理都會包含有既不能被證明也不能被否定的不確定命題。這就意味著數學上不存在這樣一個能夠證明或否定所有命題的統一體系。
  • 哥德爾定理的證明
    PM裡一個表達真理的公式G，不能在PM裡被證明，說明PM是不完備的。這（在元數學裡）就證明了：定理1：PM如果是相容的（consistent）則是不完備的（incomplete）。在相容的PM裡不可能判定G的真假，所以哥德爾這個定理有時叫做「不可判定定理」。是不是在PM裡加上這個不可判定的命題作為公設，系統擴張後就可以讓它完備起來？哥德爾說，這是不可能的！
  • 20世紀最重要的數學真理:哥德爾不完備定理
    哥德爾悖論說謊者悖論、卡羅爾悖論、芝諾悖論、希爾伯特悖論，所有這些悖論都與哥德爾的不完全性定理有關，並在歷史上導致了這個定理的誕生。庫爾特·哥德爾是一位邏輯學家，生於 1906 年，卒於 1978 年。
  • 哥德爾定理是如何玩壞數學的!
    關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文哥德爾的不完備定理是那種能把你腦漿敲出來的一個定理。在上一篇博客，我們討論了定理本身及其影響。簡單說來，它們顯示出了數學本身的內在局限性。大多數情況下，那個語句是難以證明的，所以你不知道如何證明它。可是，還有一種可能，存在既不能證明為真，也不能證明為假的語句。這種語句，我們稱為不可證明的語句。任何擁有不可證明語句的邏輯系統（公理集）成為不完備的。哥德爾第一不完備定理說了：如果你有一個一致的數學系統（也就是，一堆互不矛盾的公理），並且你可以做算數運算，那麼，一定存在使用那些公理不能證明的語句。
  • 拉康精神分析角度談哥德爾不完備性定理
    由此，哥德爾不完備第二定理得證。這樣一來，哥德爾不完備定理正是在說，凡是包含了皮亞諾算術公理的公理系統，都具有不完備性（如果系統不一致就沒有意義了，任何命題都可以是真），而且哥德爾論證了，這種不完備性，不能靠新增彌補不完備性的公理來解決。也就是說，凡是包含了皮亞諾算術公理的系統，總有一些無法被系統判定的命題。
  • 霍金為什麼說哥德爾定理是物理學的終結?
    哥德爾不完備性定理 哥德爾是20世紀最偉大的數學家、邏輯學家，他和愛因斯坦是非常要好的朋友。愛因斯坦說過一句非常有趣的話：我之所以每天堅持來普林斯頓的辦公室上班，就是因為來回途中可以和哥德爾一起步行。愛因斯坦還曾這樣評價哥德爾：我在物理學界得到的一切榮譽，哥德爾教授都應該在數學界得到。
  • 哥徳爾不完備定理
    第二天一早，三人驅車直奔新澤西州府的聯邦法院.當面試的法官看到兩位赫赫有名的見證人時簡直驚呆了，法官說道：「.德國曾在罪惡的專制制度下……不過幸運的是,這在美國是不可能的•」當「專制」這個詞蹦出來的時候，哥德爾立即大聲反駁道:「不，恰恰相反，我知道這如何可能發生.而且我可以證明它！」
  • 【學 · 知】淺釋哥德爾不完備性定理
    因為哥德爾不完備性定理保證了數學家永遠可以發現不能被證明也不能被否定的命題。哥德爾不完備性定理算是數學裡比較出名的結論，然而比起費馬大定理這樣雖然難以證明卻表述直接明確的定理，人們對不完備性定理有著諸多疑惑和誤解。「不完備」的成立受限於定理描述的種種條件，並非一切體系都不完備；這種不完備性也不簡單是數學家工作的保障，而是一種對特定體系內在缺憾的描述。
  • 哥德爾不完全性定理
    哥德爾不完全性定理被譽為「邏輯和數學史上的一座裡程碑」。由它產生的對「可證明」與「真」的討論，直到圖靈所產生的「可計算」與「不可計算」的討論，再到如今「計算」與「超計算」、「可計算」與「可學習」的討論，構成了對心靈、智能研究的一條線索。佩德羅·多明戈斯《終極算法》一書提出的「終極算法」理想，對於解決上述主題的問題提供了一定的思路。
  • 講座:哥德爾定理與認知科學的局限
    笛卡兒的著名命題「我思故我在」反映了人類能夠認識自身的本質特徵。他的「身心二元論」是「身心」問題(Body&Mind)的一個重要版本。20世紀中葉以來，由於心理學、腦與神經科學的發展，特別是認知科學建立以後，這個問題變成了著名的「腦智」(Brain&Mind)問題。
  • 希爾伯特的夢碎:不完備
    而這正是哥德爾博士論文的主題。在這篇論文中，哥德爾證明了「一階謂詞演算」是完備的，這就是不太著名的「哥德爾完備性定理」。不過，所謂的「一階謂詞演算」，是一種能力比較弱的數學系統，如果只是應用它的話，我們連自然數都定義不了，就更別說做算術了。當然了，哥德爾的目光是不會僅僅局限於此的。在完成博士論文之後，哥德爾便著手探索更一般的數學系統。