正八面體與截半八面體的組合可鋪滿空間

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今天是大年三十，在這裡給您拜年了。

祝您新春快樂，牛年大吉！

1月3日和1月6日的兩期（封面上是第279和280號）分別講了兩種空間密鋪問題：

①《有關正八面體、正四面體的有趣問題》

②《正四面體與截角四面體可以鋪滿空間》

以上兩期的連結在文後。

我們上期說過，有五種用柏拉圖體和（或）阿基米德體鋪滿整個空間的方式。除上面的兩種外，最簡單的那種我們沒有必要單獨用一篇來講，那就是由正方體鋪滿整個空間。還剩下兩種，今天先講一種，即如何用正八面體和截半八面體一同填充整個空間。我們還是一點點地引導著您向著正確的方向邁進。

（1）首先，下圖是可以做到的。

上面是把一個正方體的八個角都切去相同的正三稜錐，所得是一個叫做截角正方體的阿基米德體（注意，截的時候，要使得截痕長度與稜中剩餘長度相等）。再在每個切割面上粘貼上一個正八面體。用這種阿基米德體與正多面體的組合，是可以密鋪整個空間的。這只要看一下下圖即可以懂得。三個方向都可以擴充。所以也就可以擴充到整個空間。

其實，就是在正方體密鋪的基礎上，在其相交頂點處（類似空間直角坐標系八個卦限相交於原點），挖去以這個頂點為中心的一個正八面體。這個正八面體分別由相鄰的八個正方體各貢獻的一個正三稜錐拼成。

（2）我們研究一下稜的情況。可以考察一條稜連接著幾種多面體，也可以考察一條稜連接著幾種正多邊形面。比如上圖中，切割產生的稜連接著一個正八面體和兩個截角正方體。也可以說，切割產生的稜連接著兩個正三角形面和一個正八邊形面。但我們再觀察截角正方體的另一種稜，它是原正方體稜被截後剩下的一段，它不與正八面體有稜相連，而是與其他三個截角正方體相連。也可以說，這條稜與四個正八邊形面相連。所以，存在兩種不一樣的稜。但是，若切割面截到稜的中點，則原來正方體的稜就消失了。這時的截角正方體就變成下面的樣子，它叫做截半正方體。

您若仔細的話，可能發現標題中是「截半八面體」，是的，截半正方體與截半八面體是同一種阿基米德體。見下圖。可以看出，從橙色正八面體稜中點截掉六個角（四面角），與從粉色正方體也從中點處截掉八個角（三面角），結果一樣，就是上圖這個截半正方體。

那麼，既然前面由一個截角正方體與一個正八面體構成的組合體可以密鋪整個空間，那麼，由截角正方體的極限情況——截半正面體與正八面體構成的組合體同樣地可以密鋪整個空間。並且所有的稜就只有一種情況（連接著的正多面體完全一樣，連接著的正多邊形也完全一樣）。我們就是需要這樣一種全部稜都一樣的組合體。如下圖所示。（是不是像個斜放著的小瓶子？）

可以想像上圖：一個正八面體由八個截半正方體圍繞著，它們之間沒有任意空隙。一個截半正方體由八個正八面體和六個與自己相同的截半正方體圍繞著，它們之間沒有空隙。兩種圍繞或纏繞方式互相交錯，可以無空隙無重疊地鋪滿整個空間。

①《有關正八面體、正四面體的有趣問題》（2021年1月3日）

②《正四面體與截角四面體可以鋪滿空間》（2021年1月6日）