傅立葉變換

2021-02-19 數說機電

儘管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是，現代數學發現傅立葉變換具有非常好的性質，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：

傅立葉變換是線性算子，若賦予適當的範數，它還是酉算子；

傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；

正弦基函數是微分運算的本徵函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常係數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化複雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅立葉變換算法（FFT)).

正是由於上述的良好性質，傅立葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。
有関傅立葉變換的FPGA實現傅立葉變換是數位訊號處理中的基本操作，廣泛應用於表述及分析離散時域信號領域。但由於其運算量與變換點數N的平方成正比關係，因此，在N較大時，直接應用DFT算法進行譜變換是不切合實際的。然而，快速傅立葉變換技術的出現使情況發生了根本性的變化。本文主要描述了採用FPGA來實現2k/4k/8k點FFT的設計方法.

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    1、關於傅立葉變換變換？所以，傅立葉變換之後，橫坐標即為分離出的正弦信號的頻率，縱坐標對應的是加權密度。對於周期信號來說，因為確實可以提取出某些頻率的正弦波成分，所以其加權不為零——在幅度譜上，表現為無限大——但這些無限大顯然是有區別的，所以我們用衝激函數表示。已經說過，傅立葉變換是把各種形式的信號用正弦信號表示，因此非正弦信號進行傅立葉變換，會得到與原信號頻率不同的成分——都是原信號頻率的整數倍。
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  • 有趣的交互式傅立葉變換網站
    網站的BANNER傅立葉變換是一種在各個領域都經常使用的數學工具。這個網站將為你介紹傅立葉變換能幹什麼，為什麼傅立葉變換非常有用，以及你如何利用傅立葉變換幹漂亮的事。就像下面這樣：傅立葉變換是什麼簡而言之，傅立葉變換把一個輸入信號分解成一堆正弦波的疊加。就像大多數數學方法一樣，這個名字來自一個名叫傅立葉的人。讓我們從一些簡單的例子開始，然後繼續前進。首先，我們來看看什麼是波 —— 波隨著時間的推移，一直按照某一規律變化。
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  • 變換的真諦:「傅立葉變換」形象直觀的本質原理
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    傅立葉變換的基本思想首先由傅立葉提出，所以以其名字來命名以示紀念。從現代數學的眼光來看，傅立葉變換是一種特殊的積分變換。傅立葉變換能將滿足一定條件的函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。