數的整除既是小學數學的重要內容之一，也是 「華羅庚金杯」、「希望杯」等數學邀請賽的熱門考點。現在，我們先來回顧與整理一些整除的特徵和性質：
1．個位是0、2、4、6、8的整數能被2整除；
2．個位是0或5的整數能被5整除；
3．各位數字的和能被3或9整除的整數能被3或9整除；
4．後兩位能被4或25整除的數能被4或25整除；
5．後三位能被8或125整除的整數能被8或125整除；
6．一個整數，若偶數數位的數字和減去奇數數位的數字和的差能被11整除，則刻數能被11整除；
7．一個整數，如果它的末三位數與末三位以前的數字所組成的數的差（大減小）能被7或13整除，則該數能被7和13整除；
8．一個數能同時被和整除，且與互為質數，則該能被·的積整除；
9．一個數能同時被、和整除，且、與互為質數，則該能被··的積整除。
下面，我們就應用上面的性質解答一些有趣的整除問題
01
例1：若9位數2015□2015能夠被9整除，則□裡的數是。
【分析與解】如果2015□2015能夠被9整除，它的各位數字的和能被9整除，即「16+□」的和能被9整除。
16≤16+□≤25，當16+□=18時能滿足題意，從而推算出：□=2。
例2：如果三位數3□4能被4整除，那麼這個三位數最小是，最大是。
【分析與解】因為一個整數的最後兩位能被4，它就能被4整除，所以當兩位數□4是4的倍數時，三位數3□4就能被4整除。從而可推知□裡的數最小是0，最大是8。因此，這個三位數最小是304，最大是384。
例3：在□內填上合適的數，使五位數6□26□能被5整除，也能被9整除。這個五位數是。
【分析與解】因為「6□26□」能被5整除，所以該數的個位是0或5。當它的個位是0時，它的各個數字和是「14+□」。14≤14+□≤23，當14+□=18時滿足題意，從而可推知：□=4，這個五位數是64260。
當它的個位是5時，它的各個數字和是「17+□」。19≤19+□≤28，當19+□=27時滿足題意，從而可推知：□=8，這個五位數是68265。
因此，這個五位數是64260或68265。
小朋友，你看懂了嗎？請你嘗試用上面的方法完成下面的練習！
小練兵：若五位數2015□能被9整除，則□裡的數是；若這個數能被4整除，那麼則□裡最小能填；若這個數能被25整除，則□裡的數是。（答：1，2，0）
02
例4：能被2、3、7整除的最小的三位數是( )。
【分析與解】因為2、3與7是互質數，所以這個三位數能被2×3×7的積42整除。
42的倍數有42、84、126、168……
因此，能被2、3、7整除的最小的三位數是126。
例5：若六位數31□32□能被35整除，那麼這個六位數最小是( )，最大是( )。
【分析與解】因為35=5×7，所以這個六位數能同時被5和7整除。又因為被5整除的數個位是0或5，所以這個六位數的個位是0或5。
一個整數，如果它的末三位數與末三位以前的數字所組成的數的差能被7整除，則該數能被7整除。當這個六位數的個位是0時，1≤320－31□≤10，當320－31□=7時滿足題意，所以推知□裡的數是3，這時的六位數是313320。
當這個六位數的個位是5時，6≤325－31□≤15，當325－31□=7或325－31□=14時滿足題意。當325－31□=7時，可推知□裡的數是8，這時這個六位數是318325；當325－31□=14時，可推知□裡的數是1，這時的六位數是311325。
綜上所述，這個六位數可能是313320、318325或311325，其中最小的是311325，最大的是318325。
例6：若六位數2015□□能被90整除，那麼這個六位數是( )。
【分析與解】因為90=2×5×9，所以這個六位數能同時被2、5和9整除。又因為這個六位數能同時被2和5整除，所以它的個位是0。
當個位是0時，該數各位數字的和是「8+□」。8≤8+□≤17，當8+□=9時能滿足題意，從而可推知：□=1，這個六位數是201510。
小朋友，你看懂了嗎？請你完成下面的練習。
小練兵：若六位數5027□□能被45整除，那麼這個六位數最大是( )，最小是( )。（答案：502785，502740）
03
下面的兩個例題，你們是否感覺到它們與「整除」的知識不沾邊呢？其實，這類問題重點就是用來考查整除的知識，其要求：在一組數字中去掉哪一個數字後，使其他數字和能被另一個數整除？因此，我們要對症下藥，用整除知識就能巧解這類型問題。
例7：桌子上放著5包糖，分別裝糖3、4、5、7、9、13塊，小華拿走2包，小明拿走3包，小明拿走的糖的塊數是小華的2倍，那麼小明與小華各拿到多少塊糖？
【分析與解】由條件「小明拿走的糖的塊數是小華的2倍」可知：小華和小明所拿走的糖的總數一定是3的倍數。
因為（3+4+5+7+9+13）÷3的餘數是2，所以剩下的那包糖的塊數除以3一定會餘2。
在3、4、5、7、9、13中，只有5除3餘2，故剩下下的那包糖有5塊。
又因為3+4+7+9+13=36（塊），所以小華拿到的糖的塊數為36÷（1+2）=12（塊），拿到的2包糖分別有3塊和9塊；小明拿到的糖的塊數為12×2=24（塊），拿到的3包糖分別有4塊、7塊和13塊。
例8：九隻袋中分別放有9、12、14、15、19、22、24、25、28隻球，甲取走若干袋，乙取走若干袋，最後剩下1袋。已知甲取得的球數與乙取得球數比是2：3，那麼剩下一袋中有個球。
【分析與解】由條件「甲取得的球數與乙取得球數比是2：3」可知：甲和乙所拿走的球的總數一定是5的倍數。
因為（9+12+14+15+19+22+24+25+28）÷5的餘數是3，所以剩下的那袋球的個數除以5一定會餘3。
又因為在9、12、14、15、19、22、24、25、28中，只有28除以5餘3，故剩下的剩下的那袋球有28個。
小朋友，你會應用「因數與倍數」的知識解答這類型問題嗎？試試看！
小練兵：八個袋中分別放有4、5、8、9、15、17、22顆珠子，樂樂取走若干袋，琪琪取走若干袋，最後剩下1袋。已知樂樂取走的珠子數與琪琪取走的珠子數之比是3：4，問：剩下一袋中有多少顆珠子？樂樂取走了哪幾袋？琪琪又取走了哪幾袋？
（答案：剩下一袋中有17顆珠子；樂樂取走了2袋珠子，分別有5顆、22顆；琪琪取走了4袋珠子，分別有4顆、8顆、9顆和17顆。）