麻雀雖小 五臟俱全 題目不難 解法多多 ——好題佳解

2021-02-10 高中數學考點題解

麻雀雖小 五臟俱全  題目不難 解法多多

——好題佳解

浙江省平陽中學     洪一平   

湖北省陽新縣高級中學    鄒生書

[編者按]這是「高中數學解題研究二群」的胡雷老師在群裡提出的一道求函數值域的題目.題目不難,甚至有人說一看完題目就可以得出答案.就是這樣一個不難的小小填空題,卻引起了群友們對解法的熱烈討論,導數法、換元法、不等式法、函數圖象法、鉛垂距離法和構造圖形法等等,各種通性通法和具有新意的創造性解法紛紛拋出.下面整理出7種解法與讀者朋友交流分享.

  解法1:先分後整, 分段求值域    洪一平提供

  解法2: 導數視角, 用函數的單調性求值域   洪一平提供

  解法3: 三角換元, 三角函數求值域   洪一平提供

  解法4:不等式法求值域  鄒生書提供

  解法5:數形結合,截距幾何意義法   胡雷提供

  解法6:數形結合,鉛垂距離法   張長新提供

  [評註]鉛垂距離MN越來越大是觀察得來的,解法直觀，很有新意.

  解法7:建系設點,構造圖形,解幾平幾綜合法   曾蓉提供

【評註】曾蓉老師的解法，建系設點，構造圖形，數形結合，將式轉化為形，借形解數，用圖形的幾何性質解決函數的最值問題，解法直觀創新.

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