導讀
根據部分讀者的反饋做了改進，增加了商業對多物理場仿真軟體的介紹。本文主要寫給從事CAD/CAE/EDA/CFD等相關的軟體研發測試人員，也可以作為有限元入門文章，對於從事仿真分析的工程師也可以對軟體實現細節有所了解，老文章，老朋友請忽略。
前言
從《越獄》裡的胡克定理說起
看過美劇《越獄》的朋友對其中一個橋段應該印象很深刻，男主讓獄友將事先畫好的一張圖鋪在牆上，然後用打蛋器在固定點打孔，最後將牆敲穿推到。獄友問這是什麼原理，男主說：這是利用了胡克定律。
高中物理課本對胡克定律的定義是：
彈簧在發生彈性形變時,彈簧的彈力F和彈簧的伸長量(或壓縮量)x成正比。
很顯然，如果僅僅用胡克定律無法解釋幾個小孔就能把牆鑿穿。事實上男主角應該是事先拿到了牆的結構圖，算好了磚塊的距離，在磚頭的縫隙處打孔。至於說原理的話，一張白紙很難從中間撕開 ，但如果紙中間有破損，沿著破損處就很容易撕開，非要扯上一個定律原理的話，孔邊應力集中原理可以很好地解釋這種現象。所以男主所說的胡克定律只不過是搪塞獄友的一個藉口~
廣義胡克定律
在材料的線彈性範圍內，固體的單向拉伸變形與所受的外力成正比。
高中物理課本對胡克定律的定義可視為廣義胡克定律的簡化。
從剛體到非剛體
一根柔軟的鋼尺一端固定，一端懸空，懸空的一端會發生明顯變形。但是高中物理只能告訴我們固定的一端受到向上的力以及力矩，無法告訴懸空一端的變形大小，這是因為其研究對象的屬於剛體範疇，即研究的對象本身不會發生變形，而現實中絕大部分物體受力時自身會發生變形，工程力學中使用應力，應變，位移來度量對象的受力情況，而材料需要引入彈性模量和泊松比。有限元分析的幾何對象是物體本身。
從一維到二維
彈簧是典型的一維單元，擴展到二維需要引入偏微分方程PDE。拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的二維偏微分方程。這兩個方程可以描述靜電場，導熱，二維波動，以及天體運動等。簡單講，PDE（Partial Differential Equation）是描述這個世界運行規律的一種方式。從量子原子微觀運動，到宏觀熱，聲音，電磁，以及天體萬有引力規律，都有各自的方程來描述。聲場對應赫姆霍茲方程，電磁波對應麥克斯韋方程，流體對應納維斯託克方程，熱傳導對應泊松方程，量子力學對應薛丁格方程等等，而這個方程基本都是PDE。我們所學的各種自然定律規律，比如牛頓三定律，浮力定律等只不過是常微分方程的簡化，而常微分方程則是PDE的簡化。
有限元方法求解的對象是PDE，有限元方法的本質是將求解對象離散成小的單元，在每個小的單元上用基函數和形函數表徵其坐標和物理量，使函數在其自由度所在的網格單元幾何上滿足偏微分方程的解（之所以是幾何不是頂點，是因為自由度不一定在頂點）
有限「單元」篇網格
網格是個很廣泛的稱謂，為了避免歧義，FEM中的網格做如下規定：
1、網格的英文名為Mesh，非Grid
Grid 英文翻譯也是網格，但是基本意思為格子，通常指結構化網格，即四四方方非常規整的網格。
2、網格是用於有限元計算的輸入數據
網格對應於有限元的單元數據；線單元，面單元，實體單元都稱之為網格（對，線單元的一條直線也是網格）
3、幾何離散成的三角形稱之為「面片」，非網格
大部分顯示引擎底層都使用三角形來渲染對象，因此2維、3維幾何都需要三角化（稱之為「面片化」），比如一個長方體共有6個面，每個面需要離散成兩個三角形，總共12個三角形。這12個三角形我們稱之為12個「面片」，而非網格！一般情況下「面片」質量很差。「面片」有兩個功能：一是用來做顯示渲染數據；二是可以作為網格劃分的輸入數據，用來生成面網格。
4. 網格計算泛指「分布式計算」
「網格計算」（Grid Computing）是分布式計算的一種，它研究如何把一個需要非常巨大的計算能力才能解決的問題分成許多小的部分，然後把這些部分分配給許多計算機進行處理。這裡的網格翻譯也是Grid，和有限元計算無關！
單元
有限元方法的輸入基本對象是「單元」（element)，即幾何模型被離散之後形成的網格模型，通常根據單元的幾何特點可以分為0維（點單元），1維（線單元）， 2維（面單元）和3維（實體單元）
實體單元（3維單元）很容易理解，因為任何物體都是3維的，非實體單元通常是對模型的抽象和簡化。這種抽象和簡化基於一定的前提假設，能在不降低計算準確度的前提下大幅降低計算時間。比如常見的梁單元，可以將實體梁簡化為線單元，大大減少計算量。
彈簧只能在一個方向上發生變形，是典型的1維單元；同理殼單元（shell）需要XY兩個方向來定義，是2維單元；四面體，六面體是3維單元，也稱為實體單元；對象可以看做質點的為0維單元，比如稱之為「定樓神球"的調諧質量阻尼器。
單元的階數：
以三角形為例
一次線性單元為3個頂點
二次單元為6個點，包括3個頂點和3條邊的中點
三次單元有9個點，每條邊上有2個點
為了方便，統一將線性單元稱之為0階單元，二次單元稱之為1階單元，以此類推。
邊界條件（Boundary Condition）
有限元求解的對象是偏微分方程（Partial Differential Equation），理論上偏微分方程的通解有無數多個，但實際上確定的工況下模型只有唯一一個確定解。而決定最後唯一解的就是邊界條件！簡單理解就是通解是一個帶未知數的函數，而邊界條件可以求解出這些未知數！未知數的個數和邊界條件能確定的數值個數相同。
邊界條件按照數據類型分為三類：
1、只有確定數值的，比如確定的電流，壓力，溫度，位移等數值，稱之為第一類邊界條件，英文為Dirichlet
2、用函數表示的，函數可以是用導數，積分表示的任意函數。比如隨時間變化的荷載，電壓；用導數表示的換熱係數，稱之為第二類邊界條件，英文為Neumann
3、第一類和第二類的混合，稱之為第三類邊界條件，英文為Robin
很多書將三類邊界條件用中文表示，但翻譯有偏差，比如Dirichlet，翻譯有狄裡克雷，狄裡克萊，狄立克萊，狄力克萊，狄裡赫利。
對於工程中使用的英文名稱，建議統一用英文或者無歧義的中文（第N類邊界條件）表示，不使用英譯。
邊界條件的設置基於對有限元模型的正確理解。三維電磁分析時，設置的理想吸收邊界需要將求解域包圍住；施加的Port激勵根據類型設置在不同的幾何上；結構中的位移約束和荷載不能同時施加在同一幾何上；流體中的進口速度壓力和出口速度壓力邊界要與計算使用的CFD模型類型匹配。
在實際使用仿真軟體時，用戶無需過多關注第幾類邊界條件，因為在軟體中邊界條件統一使用離散的方式輸入，即用戶在設置邊界條件時，通常是選中某個幾何（比如選中一個面），然後通過對話框輸入數據，將屬性數值直接關聯在該幾何上，對於用函數表達的第二類，第三類邊界，通常也是採用用戶輸入數據，採用簡單擬合插值的方法得到表達式。同時商業軟體中也會根據實際情況，提供多種便利的邊界設置方法。比如要在100片相同的葉片上設置相同的荷載，可以先定義一個荷載，然後一起關聯到所有幾何上。這也是商業軟體的價值所在：提高前處理效率！
在開發邊界條件處理功能時，本質上是有共性的：即將數值和幾何關聯（最終是將數值和網格自由度關聯），不同的只是數值的單位和類型。所以基類即可以實現大部分功能，節省開發工作！擬合插值功能也可以做成公用模塊，插值方法無非線性，二次，對數插值常用的幾種。
正確的使用單元和設置邊界條件是得出正確計算的重要條件！
單元設計（針對軟體開發）
ANSYS和ABAQUS中都有上百種單元，根據前面介紹，單元分類按照空間維度有0維，1維，2維，3維
按照面向對象設計方法，可以設計出四個接口基類；按照階數來分，至少有0階，1階和2階，階數可以作為屬性放在實現類中；引入自由度，單元設計會稍微複雜一點，每個節點自由度根據特定單元類型不同而不同，比如有些節點只考慮平動，不考慮轉動，有些節點只考慮磁場不考慮電場；再引入多物理場，單元設計會更加複雜，以三維四面體單元為例，對於溫度，0階單元可作為默認單元，對於結構0階單元誤差過大，默認為1階單元，而對於電磁分析由於自由度在邊不在點上，0階1階2階都適用，可根據幾何實際情況選擇。
早期的有限元分析程序多採用FORTRAN編寫，沒有採用面向對象思想和方法，面向過程的好處是程序流程會比較清晰，任何時候都能對單元的類型結構狀態數據有準確的定位，但是難以維護和擴展。當使用類似面向對象C++語言設計大型有限元程序時候，不能拋棄面向過程的設計方法！過多依賴面向對象，從工程角度講會造成軟體開發的不可控，雖然從程序角度看會帶來程序的靈活性，擴展性！
對於大型通用有限元分析程序，合理的設計單元架構是有效建立有限元模型的關鍵，單元框架需要同時供前處理和求解器使用！
誤差
誤差天然存在，誤差不是錯誤，但是會導致錯誤
以實體建模為例， 網格劃分精度通常為雙精度，也就是 double型；而渲染顯示（比如OpenGL）精度為單精度為float型。創建一個長方體，長方體的頂點坐標如果用滑鼠從屏幕上取渲染數據值，即為float型數據而不是double型，生成的幾何數據精度會丟失，直接結果就是生成的長方體會和其它相接觸的實體產生幹涉，如果不進行修復，劃分網格就會在邊界處生成非常細長的三角形，最終導致畸形網格，求解器無法進行計算。
有限元方法中有三種誤差：
離散誤差，累積誤差和截斷誤差。
對於開發人員而言，需要注意累計誤差和截斷誤差，比如等參單元使用的高斯積分，其積分誤差和選擇的積分點數和位置有關。在求解器求解線性方程組時，採用的不同的求解方法，其最終產生的誤差也不相同。
網格的數目，密度，形狀，不同的離散方法，不同的求解方法等最終產生的誤差很可能導致完全錯誤的結果。對於研發而言，每一步產生的誤差都需要仔細分析，給出處理邏輯。
求解器幹了什麼
有限元模型生成後，通常會導出保存為一個文件，文件中保存了節點，單元，材料，邊界，荷載，工況，求解等設置信息，求解器會讀入該文件進行計算。ANSYS為cdb，ABAQUS為inp，PATRAN為bdf。
一般商業軟體都會把求解器做成單獨的可執行程序（*.exe程序），單獨啟動進程求解，而不是集成在前處理器中。一是單獨的進程便於管理和分布式計算；二是解耦前處理器和求解器，方便調試；三是可以方便導入到第三方工具中，缺點是模型文件容易被非法查看，可以通過二進位和加密來解決。
求解器讀入有限元模型後，首先會檢查模型的有效性，比如網格節點是否正確（重複節點，重複網格，索引錯誤等），還會檢查網格質量，最小角度，邊長，Aspect ratio，skew ratio 以及對應的求解配置是否正確，比如邊界是否設置，工況是否合理（振動頻率階次過多），材料是否有效（比如泊松比大於0.5）等等。當出現不合理設置時，給出警告信息；出現錯時，則返回不計算。模型檢查合格之後，根據求解器設置，計算每個單元的剛度矩陣，然後組裝剛度矩陣成全局矩陣，最終建立起一個非齊次線性方程組，最後求解該線程方程組。
在整個過程中最耗時的是求解方程組。受限於軟硬體，求解大規模線性方程組仍然是世界性技術難題，目前對於上了十億自由度的方程組，除了硬體GPU，分布式計算，超級計算機硬體加速外，並無快速有效的求解方法。顯式計算方法不需要求解大規模線性方程組，更適合分布式計算。期待不久的將來量子計算能解決此類問題！
求解器計算完成後，會將計算自由度所在點的原始數值輸出到文件。之所以說是原始數值，是因為求解器得到的可能並不是用戶最終關心的數據，還需要進行一系列處理，比如有些求解器算出點的結果數據為積分點上的值，而非頂點值；用戶通常關心Vonmises應力而非最大最小主應力；電路設計用戶只關心SNP參數；天線設計用戶更在意電磁場場強分布，等值面通常比單個點值更直觀等等，所以需要對原始結果數據進行加工處理，給出對用戶最有價值的結果！
什麼是多物理場
工程領域的多物理場通常是指宏觀領域的物理場，包括電磁，流體，結構，熱，聲，光（光本質上屬電磁）等等，偏向於工程應用領域。需要和理論物理中的四大物理場（微觀領域的強力，弱力，以及電磁力和天體的萬有引力）相區別。
形函數，基函數，伽遼金
伽遼金，俄羅斯人，伽遼金方法一如俄羅斯的武器，便宜，耐用，適應能力強，保養簡單。
形函數（shape function）是用一個試探性的函數來表達單元內的偏微分方程，通常取多項式。
基函數（basis function）是用來表達一個單元內的物理量的坐標表達式。
伽遼金方法是加權餘量法的一種（加權餘量包括 配點法 子域法 矩量法 最小二乘法 伽遼金法），將形函數和基函數設為相同，同時將偏微分方程強形式變成弱形式，降低了求解限制，對於非連續介質，只要在插值點滿足要求即可，提高了其適用範圍。相對於其他方法，伽遼金方法最終生成的線性方程組的係數矩陣，稀疏對稱，更容易求解。簡單講，伽遼金方法簡化了有限元方法使用門檻，搭建起了有限元數值理論到軟體實現的橋梁，成為早期商業軟體實現的基礎。
等參單元/高斯積分
等參單元：劃分網格後，一般網格並不是標準網格（等邊三角形，等邊四面體或者立方體），直接使用形函數會造成計算上的困難，所以通常使用一個新標準網格來代替原有網格，並在標準網格和原有網格之間建立映射關係，新的網格稱為等參單元。
高斯積分：在使用等參單元後，會有很多定積分需要求解，通常方法是在積分區域內按照一定規則選出一些點，稱為積分點，算出被積函數在積分點的值，然後再乘以加權係數作為近似積分值。高斯積分是精度最高的一種方法。這也是為什麼很多有限元軟體（比如ABAQUS），最終結果並不在頂點上，而是在積分點上，需要注意轉換。
--顯示算法/隱式算法/穩態/瞬態/動力--
顯示算法/隱式算法在比較結構動力分析方法中比較常見，顯示算法中的節點狀態主要由前兩部決定，不需要求解整體剛度矩陣，適合大規模並行計算，ABAQUS Explicit和LSDYNA主要使用顯式方法。
通常說的穩態指沒有時間項的計算，物理場處於平衡不變化的狀態。
瞬態/動力 中有時間項，即物理量隨時間變化而變化，溫度熱傳導，衝擊荷載，結構振動，電磁時域都是和時間相關。常用求解方法是將時間離散，求解每一個時間點的狀態。時間的離散步長需要根據實際情況計算，時間步長過大，求解不精確，過小，浪費計算資源。
幾個多物理場例子
--被風吹塌的橋（流體，結構，振動）--
塔科馬海峽吊橋（英語：Tacoma Narrows Bridge）是位於美國華盛頓州塔科馬的兩條懸索橋，橫跨塔科馬海峽，第一座橋於1940年建成，但不到五個月便倒塌，公認的直接原因是橋梁在受到強風的吹襲下引起卡門渦街，使橋身擺動，當卡門渦街的振動頻率和吊橋自身的固有頻率相同時，引起吊橋劇烈共振而崩塌，這次事件成為研究空氣動力學卡門渦街引起建築物共振破壞力的活教材，也被記載為20世紀最嚴重的工程設計錯誤之一。而事故的根本原因是節省成本，減少橋面厚度所引起的剛度降低，雖然橋梁整體強度毫無問題，但是剛度降低破壞了整體穩定，無形中增加了風載造成的衝擊，為事故埋下了隱患；事實上即使橋梁不被吹垮，長期經受高強度的衝擊荷載，其使用壽命也會大大降低！
卡門渦街是流體力學中重要的現象，在自然界中常可遇到，在一定條件下的定常流體繞過某些物體時，物體兩側會周期性地脫落出旋轉方向相反、排列規則的雙列線渦，經過非線性作用後，形成卡門渦街。如水流過橋墩，風吹過高塔、煙囪、電線等都會形成卡門渦街。常用的CFD軟體中都會用卡門渦街作為基準測試建立標準算例。
--NVH（聲音，振動，聲振舒適度）--
NVH是衡量汽車舒適度的一個重要指標，在中國，隨著家庭汽車越來越多，NVH（Noise、Vibration、Harshness）在汽車研發中成為熱門研究內容，汽車行業的火爆可是說是NVH發展的重要推手。有統計資料顯示，整車約有1/3的故障問題是和車輛的NVH問題有關係，而各大公司有近20%的研發費用消耗在解決車輛的NVH問題上。
任正非採訪（熱分析）
華為老總任正非在一次接受採訪時表示散熱和發熱機理可能是電子技術最核心的競爭力
「晶片越來越小，元器件越來越集中，硬體工程、電子工藝最大的問題就是散熱。有專家表示，未來50%的能源將消耗在晶片上，散熱和發熱機理也可能是電子技術最核心的競爭力」，未來電子產品不僅要進行電磁兼容，電源完整，信號完整，機械強度等仿真，散熱分析更會成為重中之重。
1億是1千萬的10倍？
早期筆者使用矩量法求解線性方程組，在不使用快速多級方法，自由度達到3萬時，臺式機上已經無法求解出，8G的機器內存不夠用。對於滿秩矩陣的線性方程組，常規求解方法時間複雜度為n^3(n的3次方)。
對於自由度1千萬以下稀疏矩陣的求解，好的臺式機基本能應付，而當自由度達到1億的時候，簡單的將硬體乘以10倍完全不能滿足要求。因為計算的空間複雜度，時間複雜度並不是線性，通常是NlogN，N^2或者更高。當自由度達到1億時，不僅需要對硬體核心部件CPU，內存擴容，而且在磁碟陣列，I/O，並發計算，GPU，網絡，帶寬等方面都提出了更苛刻的要求。
在算法方面看，減少網格密度，在物理量梯度大的地方加密，無變化的地方將網格變稀疏，可以有效減少計算量；另外優化求解算法本身，使其更加易於並行化計算。
從目前來看，計算機硬體計算能力的更新速度，跟不上指數級求解規模的增加速度。這也是量子力學發展的最大推動力！
設計和優化
關於設計和優化，之前談過很多。在工程項目中，有限元方法仿真只是其中一環，即對模型進行計算得到仿真結果。按照ANSYS的說法，多物理場仿真僅僅停留在第二個層次（第一層次是單物理場仿真）。ANSYS現在關注更高第三層次的設計驅動仿真 和 第四層次的業務驅動仿真。簡單講設計驅動仿真讓仿真來決定設計，而業務驅動仿真則是讓仿真決定業務，之前做過詳細介紹，可以查看歷史文章。
其實按照目前的水平，在世界範圍內，能做到第三層次即仿真驅動設計，或者優化設計，已經是把仿真做的相當不錯了！
--不同物理場的有限元方法一樣嗎--
理論基礎一樣，但實現方法不一樣
有限元的核心之一在於對形函數的選擇，也就是形函數要能準確表達PDE以及邊界條件。以電磁單元為例，早期使用和結構相同的三角面片單元（自由度在定點），但是在計算邊界的時候發現電磁場不滿足連續條件，後來發明了矢量單元（自由度在邊上）來解決這個問題，形函數和結構分析使用的形函數不同。
再比如熱分析需要對環境溫度進行定義，電磁分析需要設定吸收邊界（物體到吸收邊界區域也需要劃分網格），而結構中則不需要。結構分析中常見的沙漏，自鎖，電磁分析中因為自適應網加密數目過少造成的偽解，CFD邊界層網格沒有加密造成的求解誤差過大，都是由各自不同物理場的特點決定的。
--多物理場軟體--
COMSOL是名至實歸的多物理場軟體，在前處理方面提供了多種物理場建模功能，同時可以自定義偏微分方程，求解偏微分方程，這是其它軟體無法比擬的的。COMSOL作為學習，科研絕對是利器！所以在高校推廣的特別好，在研究所研究院也有相當的市場！But，在工程領域，COMSOL拓展的比較艱難。這也是本人經常說到的一個問題，軟體只是工具，一旦涉及到工程領域，軟體必須要能解決實際問題。從工程角度看，COMSOL就像是一個大雜燴，似乎什麼都能做，但什麼都做不精通！涉及電磁電子有專業的EDA工具，做結構有老牌的ANSYS，ABAQUS，空氣動力飛行器有老牌的NASTRAN，流體Fluent，Star-CD，材料化學有VASP，MS。
綜合來看COMSOL和MATLAB屬於同一類型的產品，著重在於研究解決某個點上的問題，而非解決綜合工程問題
----ANSYS----
作為老牌商業仿真工具，ANSYS一直講多物理場仿真作為支撐和核心技術。尤其以Workbench作為多物理場仿真的平臺。每完成一次仿真軟體收購之後，就會將其融入到多物理場平臺中。
功能較全能提供多物理場耦合仿真的軟體有ADINA，Altair Multiphysics，
STAR-CCM+，其它號稱能解決多物理場問題的工具其實都算不上真正意義上的多物理場工具，比如MSC的SimXpert，達索的SIMULA等。
後記
在仿真軟體（CAD/CAE/EDA/CFD）開發工作中，發現很多軟體研發測試人員沒有相關背景 希望該篇文章能有所幫助。