每年的春節前夕，
家家戶戶都會貼上窗花，
以增點喜慶之氣。
今年疫情當頭，
我們應注意防範，
減少聚眾性活動，
串門拜年雖然減少，
但是雲拜年，雲祝福也一樣讓人開心，
沒有不怎麼熟悉的七大姨八大姑對我近況的盤問，
也沒有我機智的鬥智鬥勇精彩辯駁，
感到少了點樂子，稍有點無聊。
無聊之際，窗花上花紋的規律讓剛學完晶體學知識的小編突然有了靈感。作為古老的民間藝術，這種有規律、對稱感的花紋，裡面又有怎樣的奧秘呢，我們是不是可以考慮將窗花根據對稱性進行分類呢。
我們先看看一些具有地域特色的窗花剪紙[1]。
圖 | 北京窗花剪紙 來源：中國剪紙新編
圖 | 河北窗花剪紙 來源：中國剪紙新編
圖 | 山西窗花剪紙 來源：中國剪紙新編
圖 | 內蒙古窗花剪紙 來源：中國剪紙新編
上面的剪紙作品中你有沒有看出什麼共性呢。
圖 | 用D4點群標記的團花
以上窗花圖案中，可以用D4點群標記。D4點群中包含，一個四重旋轉軸，4個鏡面對稱，這些話是什麼意思，就讓我賣個關子，我們來看後面的介紹。
對稱性
對稱性是指一個圖案能夠在經過一種變換操作後能夠和原來的圖案重合的性質。在晶體學的範疇裡，我們可以將晶體根據對稱性進行分類。在正交變換中（即沒有縮放操作），對稱操作的類型可以分為以下6種，分別有旋轉 (rotation)，鏡面對稱(reflection)，旋轉反演(improper rotation)，平移(translation)，滑移鏡面(glide reflection) 和螺旋旋轉(screw rotation)，旋轉反演可以通過鏡面對稱+旋轉連續操作而成，後兩者滑移反映和螺旋旋轉則分別由反射+旋轉和平移+反射連續操作而成。[2]
圖 | 圖案對稱性舉例，(a) 為鏡面對稱的蝴蝶，(b) 為2重旋轉對稱的圖案，(c) 為平移對稱的花紋
在旋轉對稱的圖形中，n重旋轉對稱性表示，每次旋轉2π/n，都能和原來的圖案重合。
如果考慮縮放，那麼還可以有一種對稱性，那就是分形（fractals）。
圖 | 一種分型圖形 來源：Tenor
（關於對稱類型的介紹可以查看往期內容：什麼是對稱？）
在對稱操作下固定不變的點、直線及平面稱為對稱元素，如圖我們對一個立方體進行對稱操作，可以發現所有的對稱元素都經過體心。[3]
圖 | 立方體中的對稱元素（表示立方體中有3個四重旋轉軸、4個三重旋轉軸、6個二重旋轉軸、1個反演對稱中心、9個鏡面對稱面） 來源：2007 Thomson Higher Education
其中點對稱操作，包括三種：旋轉、鏡面對稱和旋轉反演。這三種對稱操作都可以保證空間中至少一點固定不動，所以稱之為點對稱操作。[3]
圖 | 三種點式操作
當然我們在圖中可以看到，在二維的範疇中，旋轉反演其實就是180°的旋轉，所以二維平面中體現不出旋轉反演。
點群
群（group）表示一種集合，設有一個集合G≡{E,A,B,C,D……} 。每一個對稱操作可以作為一個元素，一個系統擁有的全部對稱操作可以組成一個對稱群，每種對稱操作是其中一個群元。由點對稱操作組成的群，稱為點群。
在晶體學三維空間中，我們可以將上述的點式對稱操作做組合，一共可以組合出32種點群。進一步如果我們將非點式操作（平移）加進去，可以組合派生出230種空間群。然而在二維平面中，只能組合出10種點群。
圖 | 二維中的十種晶體學點群 來源：what-is-symmetry
上圖中的通用記號叫作Schoenflies記號，來自於德國數學家Arthur Moritz Schoenflies。
「C」代表「cyclic（循環）」。這些對象都有旋轉對稱性。下標數字代表具有幾重旋轉對稱性，例如C2表示該群有兩重旋轉對稱操作。
「D」代表「dihedral（二面角）」。這些對象同時具有鏡面對稱性和旋轉對稱性。下標數字表示它有幾重旋轉對稱性，也就同時意味著有幾條鏡面對稱線。如我們之前團花圖案，D4表示該群有4重旋轉對稱操作，並且有4個鏡面對稱操作，相鄰二面角相等。
準晶體
細心的大家可能發現了，之前的二維晶體學點群中唯獨缺少 n=5 的情況，這是由於在晶體中存在平移對稱性的約束。隨著對晶體學的認知逐漸深入，英國著名的物理學家、數學家和哲學家Roger Penrose給出了可以用圖形單元鋪滿空間，且圖案具有5重旋轉對稱性的方案。我們將這種鋪滿的方式稱為，Penrose拼接。
圖 | 一種Penrose拼接[6]
準晶體，是一種介於晶體和非晶體之間的固體。準晶體花樣可以鋪滿整個平面，但是準晶體沒有與晶體相同的的平移對稱性。[5]因而可以具有晶體所不允許的宏觀對稱性，如5重旋轉對稱性。而具有5次轉動對稱性的三維有限尺寸的物體也是有的，如愛滋病病毒和雲南的荷包。(準晶體的介紹可以查看往期內容：準晶體的前世今生)
好了，到現在為止，我們集齊了n=1,2,3,4,5,6重的旋轉對稱性！！
窗花中的對稱性
窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的漢族傳統民間藝術之一。在隆重的節日裡，農村就會在春節前在家裡貼上「角花」和「團花」，以烘託節日的氣氛。[7]我們看到之前的窗花其實可以看到，它們一般都是以高度的對稱性為特點。
圖 | 窗花飾樣 來源：搜狐
相信聰明的大家已經從給出的窗花，還有前面的舉例中看出了規律。窗花圖案的對稱操作的集合，其實就是以中心為不變點的點式操作組成的點群。
接下來我們從一些簡單的剪紙圖形出發，
來看看窗花剪紙中的對稱規律。
其他的窗花太複雜了，
於是，不爭氣的我翻開了，
一本名叫《幼兒剪紙大全》[8]的書，
或許我們可以從這裡看出一些規律。
它是這樣子的。
（忽略紅綠配色的標註）
圖 | 圖書封面 來源：幼兒剪紙大全
……
看到了吧，從現在開始請大家，忽略這幼稚的畫風，多多關注其中的對稱性。讓我們開發智力和思維。
當然還有送給小夥伴們的祝福！
單獨紋樣
圖 | 糖葫蘆剪紙步驟 來源：幼兒剪紙大全
該過程第一步先將糖葫蘆畫出來，第二步再從紙上剪出來。這個糖葫蘆沒有看出來任何對稱性，所以也就對應n=1重旋轉對稱。（C1群）
這個就是祝大家，團團圓圓！
對邊折剪
圖 | 小老鼠剪紙步驟 來源：幼兒剪紙大全
這個剪紙中的小老鼠，剪出步驟也是如圖，中間增加了將紙對摺的步驟1。這個圖案具有的對稱性就是鏡面對稱，鏡面剛好就是摺痕。（D1群）
祝大家，鼠年大吉！
還有我們常見的雙喜圖案。
圖 | 雙喜剪紙步驟 來源：幼兒剪紙大全
那這個就是祝大家，雙喜臨門吧！
三角折剪
圖 | 三瓣花步驟 來源：幼兒剪紙大全
這個剪紙步驟中，從1-3的過程中，給三瓣花圖案給出了3個鏡面（摺痕），由於在3步驟中保證了三個角度的等分，還創造出一個n=3重旋轉軸。（D3群）
那這個就是祝大家，錦上添花！
四角折剪
圖 | 古銅錢剪紙步驟 來源：幼兒剪紙大全
這個步驟中，從1-3步驟，給出4個摺痕，步驟三同樣保證了對摺之後的圖形4個角度的等分性，所以4有個鏡面和，一個n=4重旋轉軸。（D4群）
用這個祝大家，年年發大財！
五角折剪
圖 | 五角星剪紙步驟 來源：幼兒剪紙大全
這個步驟中，從1-4步驟，給出5個摺痕，步驟3-4保證了對摺之後的圖形5個角度的等分性，所以有5個鏡面和，一個n=5重旋轉軸。（D5群，晶體學中沒有該群，但是根據對應的規律可以用這個符號來表示）
用這個祝大家，福星高照！
六角折剪
圖 | 雪花剪紙步驟 來源：幼兒剪紙大全
這個步驟中，從1-4步驟，給出6個摺痕，步驟3-4保證了對摺之後的圖形6個角度的等分性，所以有6個鏡面和，一個n=6重旋轉軸。（D6群）
用這個祝大家，冰雪聰明！
二方連續
圖 | 熱帶魚剪紙步驟 來源：幼兒剪紙大全
這個步驟中，第一個步驟給出n個摺痕，所以有n個鏡面，但是從這個展開的圖形可以看出來這幾個鏡面是通過平移操作得到的，這是與前面的剪紙形狀不一樣的地方。（pm群，這個符號已經上升到了空間群，不再是點群，因為對稱要素並不相交於一點了，這裡可以參照參考文獻中曹則賢老師的文章[4]）
關於這個剪紙就祝大家，年年有「魚」！
總之，關於窗花的規律就先講到這裡吧，窗花剪紙中的規律還有好多呢，等待喜歡思考和善於發現的你去發現呢。
圖 | 四方連續圖案
比如四方連續的圖案是水平和豎直方向上的二方連續組合而成。
除此之外，還可以由以上兩種對稱的組合，還有改變摺痕的角度等等的變化。再搭配精細的剪裁手法，精美的窗花就可以完成了。
圖 | 窗花剪紙步驟
是不是仿佛打開了窗花世界的大門？
由於疫情影響，今年的春節恐怕沒法像往常那麼熱鬧，相關部門也發布了緊急通知：
1月23日，教育部發布通知，要求教育系統做好新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控應急預案工作。武漢、上海等地，相關高校相繼發布推遲開學通知。1月26日，國務院辦公廳發布關於延長2020年春節假期的通知。1月26日，北京市教委發布北京高校延期開學通知。
小編提醒，在做好防護措施的同時，減少聚會活動，不傳謠，不造謠，向周圍人普及正確防護知識。出現疑似感染情況，聽從醫護人員安排，積極配合隔離觀察。
小編在這裡向大家揭秘窗花圖案的規律，也希望大家響應號召，自覺「宅」在家健康平安地度過春節，剪剪窗花是不錯的選擇哦~也許你也可以創造更多有意思的窗花圖案。
平安過春節，打贏這場沒有硝煙的戰爭，我們一起努力！
參考文獻：
[1]吳忠良. 中國剪紙新編[M]. 上海: 上海遠東出版社, 2013.
[2]What Is Symmetry? - Livescience
[3] 中國科學院大學研究生課程「固體物理（專業班）」 PPT.
[4] 曹則賢. 晶體幾何系列之一, 晶體的點群與空間群[J]. 物理, 2019, 48(02):50-53.
[5] Quasicrystal - Wikipedia
[6] 中國科學院大學研究生課程 「材料化學」 PPT.
[7] 窗花 - 百度
[8] 劉益宏. 幼兒剪紙大全[M]. 南昌: 江西美術出版社, 2014.
[9] 中國科學院大學研究生課程 「X射線晶體學」 PPT.
編輯：Kun