婚姻博弈論

在過去漫長的時間中，經濟學一直關注於匿名市場交易。價格機制是匿名市場交易成功的關鍵。比如，去超市買一瓶礦泉水，不會要求你出示身份證或訂立一份合約，只要你付錢就可以了。在股票市場上買賣股票，也不需要知道你是跟誰達成了交易。

但是，經濟中有很多市場的交易並不是匿名的。這些交易在對象之間存在很強的單向或雙向選擇性，價格機制對他們來說不足以解決問題，甚至價格也不是最重要的問題。

最典型的是婚姻市場，金錢買不來愛情，價格機制可能完全失效。在這樣的時候，我們如何可以讓這些市場運行得更有效率呢？今天，身邊君就想和你一起看看婚姻中的博弈論。以下，Enjoy：

董志強 | 作者

身邊的經濟學 | 來源

01

婚姻匹配問題

強扭的瓜不甜。男婚女嫁，理所當然應以兩情相悅為基礎。

可問題是，兩情相悅是雙方的事。大明喜歡小紅，並不意味著小紅就會喜歡（或者應該喜歡）大明。

之所以那麼多痴男怨女、愛恨糾葛，就是因為兩情相悅實在只是一種難得的巧合——如果你繼續往下讀，在後面會發現，通常來說愛情是不會完美的，夫妻雙方往往有一方會帶著或多或少的遺憾結婚。

不過，我們也不必為此悲觀，畢竟我們還是可以擁有穩定的婚姻。

什麼是「穩定的」婚姻？

簡言之，就是不離婚。在一個允許人們自由離婚的社會中，如果夫妻倆選擇不離婚，那只能說明對他們來說一起生活至少不會比各奔東西更差，通常還可能更好。

如果一個可以自由離婚的社會，所有的夫妻都不離婚，那麼可以說這個社會的婚配市場達到了最佳的效率，因為這意味著沒有哪對夫妻可以通過離婚來改善自己的境況。這就是全社會最好的境況。處於這種境況的婚姻配對，就是「穩定的」匹配。

問題是，我們如何得到穩定的匹配？

一種最簡單的情況：

不妨讓大家做這樣一個頭腦實驗。現有三個男子，分別叫張大、張二、張三；亦有三個女子，分別叫李甲、李乙、李丙。張家每個男子對李家每個女子都有一個偏好排序，每個李家女子對每個張家男子也有一個偏好排序，如下：

表中，1、2、3是張家男子對李家女子的排序，一、二、三是李家女子對張家男子對排序。

這六個人要配成三對非常簡單。不難發現，張大和李甲彼此最喜歡對方，張二和李乙彼此最喜歡對方，張三和李丙彼此最喜歡對方。所以，就按照這樣三對匹配就好了，不會有人離婚，因為每個人都得到了自己最喜歡的人。

略複雜但更常見的情況：

「你最喜歡我，同時我也最喜歡你」的情形，在現實生活中並不常見。現實中，更可能出現某些人是大眾情人，某些人則無人愛憐的情況，比如下面這樣的偏好排序情形：

這個偏好看起來就「常見」多了。張二、張三都最喜歡李甲，但是李甲卻最喜歡張大；張大最喜歡李乙，但李乙最不喜歡的就是張大……真是錯綜複雜的關係。我們的問題是，應該怎樣配對，才能使三對男女結婚後不離婚呢？

我們可以這樣思考上述問題。假設是張家男子去追李家的女子。那麼首先，請大家想想，張家三個男子會向誰表白呢？顯然，如果大家都秉承自己的內心，那麼張二和張三會向他們都最喜歡的李甲表白，而張大卻會向自己最喜歡的李乙表白，同時李丙面前沒有任何人表白。

面臨三個男子的表白，李家三個女子會如何反應？我們假設，每個女子對前來表白的男子能且只能留下一個，同樣她們秉承自己的內心做出決定，留下自己相對更喜歡的那一個。

於是，李甲留下了張二，雖然張二並不是她最喜歡的（注意，李甲最喜歡的張大跑去向李乙求婚了），但總歸比張三更討人喜歡一點。李乙面前只有張大，別無選擇暫時接受張大。李丙更慘，目前還沒有人來追她。

但是，這個時候大家畢竟都還沒有結婚。張三被李甲拒絕後，轉而便去向自己其次喜歡的李乙去表白。這完全是去撬張大的牆角嘛，因為剛才李乙明明已經接受了張大。不過，我們剛才也說明了，李乙只是「暫時」接受張大，離結婚還早，現在她看到自己更喜歡一點的張三來求婚，還是秉承自己的內心喜愛，她立馬與張大分手轉而把張三留下來了。

張大被自己最喜歡的李乙劈腿之後，轉而向自己其次喜歡的李丙去表白。雖然在李丙心目中，最喜歡的人並非張大，但現在自己最喜歡的張三名花有主，別無選擇也只好和張大走到一起。經過這樣三輪相互挑選之後，最後形成匹配是這樣：

張大（2）李丙(二)

張二（1）李甲(二)

張三（2）李乙(二)

注意，括號內數字是配偶在自己心目中的排序。這裡，只有張二得到了自己最喜歡的李家女子李甲，張大和張三都只得到自己其次喜歡的女子。每個女子，得到都是自己其次喜歡的男子，因為她們最喜歡的男子，都不曾來向她們求婚。

我們關心的是，這個配對是穩定的嗎？換言之，能確保他們不會離婚嗎？從每個男子角度來說，張二得到自己最喜歡的李甲，他不會離婚；張三喜歡李甲甚於自己的對象李乙，但李甲拒絕了張三，而他又認為李丙不如李乙，因此他也不會離婚；同理，張大被李乙拒絕過，而他又認為李甲不如李丙，因此他也不會離婚。既然每個男子不離婚，每個女子也就不會離婚。所以，上面的配對就稱為「穩定的」匹配。

在上面的討論中，我們假設的是男子向女子求婚。同樣是上面的問題，如果我們把求婚規則改一下，比如從「男求婚」改成「女求婚」，結果又會如何呢？前面給出的偏好信息中，每個李家女子正好喜歡不同的張家男子，結果是在第一輪中李甲會向張大求婚，李乙會向張二求婚，李丙會向張三求婚。每個張家男子面前只有一個女子，別無選擇，結果只好留下來到自己面前的女子結婚。

於是，「女求婚」最後的形成匹配是這樣的：

張大（3）李甲(一)

張二（3）李乙(一)

張三（3）李丙(一)

這裡，每個男子都只得到了自己最不喜歡的女子，不過每個女子都得到了自己最喜歡的男子。這個匹配確實也是穩定的，因為沒有哪個女子願意轉向其他男子，於是每個男子也就不可能轉向其他女子。不穩定的匹配，必須至少有一對男女同時希望改變現狀。

這兩個「穩定」匹配的區別在哪裡呢？主要的區別在於，究竟是男性佔據求婚的主動權，還是女性佔據求婚的主動權。從結果上看，誰佔據主動權，結果就會對誰更好。

02

誰從匹配過程中

獲得最多好處？

在前面張家男子和李家女子配對的例子中，我們至少可以看到如下兩個事實：

1）穩定的配對有可能不止一個

2）張家男子向李家女子求婚，和李家女子向張家男子求婚，兩者結果對各方利益來說很不一樣。

如果李家女子向張家男子求婚，結果就是每個李家女子都得到了自己最喜歡的男子。反過來，張家男子向李家女子求婚時，所有李家女子都只能得到自己其次喜歡的那個男子。

類似地，張家男子向李家女子求婚，每個男子至少可以得到自己其次喜歡的那個女子（有一個男子甚至得到了自己最喜歡的女子），如果反過來接受李家女子求婚，則每個男子得到的都是自己最不喜歡的那個女子。

看起來，在求婚過程中，誰主動，誰就更得益。問題是，這麼一個特殊的例子所得到的結論，會在一般性的匹配博弈中普遍成立嗎？

答案是肯定的！

在男求婚機制中，將有利於男子；在女求婚機制中，將有利於女子。這看上去有點反常，因為大家可能會這樣想：張家男子向李家女子求婚，明明是李家女子有決策權，這個機制應該有利於李家女子才對呀！

這樣想的讀者朋友，是忽略了如下重要事實：在男求婚機制中，李家女子的決策權受到了極大的約束，女子能否實施決策權是以男子選擇她為條件的。

在前面的例子中，李丙的決策權就是別無選擇的——在前兩輪求婚中，根本沒有人向她求婚，直到第三輪只有張大向她求婚，她除了接受張大之外並無其他選擇。

但是每個張家男子，可以序貫地選擇他喜歡的對象去表白，這恰恰保證了他可以得到他能夠得到的女子中最好的那一個。

反過來，如果是女求婚，那麼結果就有利於女子。

看來，現代社會中女孩子要追求自己最滿意的愛情，更應該主動出擊。

由於在不同配對中存在上述利害關係，因此我們稱男求婚對應的穩定配對為「男性最適穩定配對」，稱女求婚對應的配對稱為「女性最適配對」。除非穩定配對是唯一的，否則，就總是存在「男方最適」或「女方最適」的穩定配對。

上述結果的重要政策含義在於，在「中央協調機制」中，將「求婚」的主動權給予哪一方，對於群體的福利效應非常關鍵。

比如，在實習醫生和醫院的配對中，是實習醫生向醫院「告白」還是醫院向實習醫生「告白」，福利效應將完全不一樣；在學生和導師的雙向選擇中，是學生先選導師還是導師先選學生，福利效應也迥異。

03

誠實是最佳策略

到現在為此，我們僅利用男子向女子求婚（或女子向男子求婚）來構造對延遲接受配對機制穩定性的證明。當我們把這個過程用於真實世界，我們不太可能讓匹配的對象真正地一輪一輪地去配對。

更通常的做法是，我們要求匹配對象報告自己的偏好，然後根據偏好來求解穩定匹配。比如，學生要選擇導師，我們並不會把學生和導師集中到一個操場上進行一輪一輪的配對，而是要求一方或雙方（通常是要求學生一方）填寫自己的志願，報告出自己的偏好。

那麼，新的問題來了：由於偏好是個人私有的信息，人們會如實地報告自己的真實偏好嗎？

會不會有人，故意歪曲報告自己的偏好來給自己帶來更大好處？

回答上述問題的重要意義在於：如果我們知道每個人的真實偏好，要設計出有效的匹配程序就易如反掌。

回答上述問題的關鍵在於：人們能否從歪曲偏好信息中獲得更大的好處。這要分兩個不同的方面來看。

第一，求婚者這一方面，能否從歪曲報告自己的偏好中獲得好處？答案是否定的，不能！

第二，被求婚者這一方面，能否從歪曲報告自己的偏好中獲得好處？答案是，某些時候有這種可能。

儘管被求婚者可以從歪曲自己的偏好中獲得好處，但羅斯教授等人證明，即使被求婚者歪曲報告自己的偏好，對於求婚者來說最佳的策略仍是如實地報告自己的偏好。

因為如此，我們說延遲接受配對機制具有單方面策略免疫性質，即對於求婚者來說，他們不可能從歪曲自己的偏好中獲益。

單方面策略免疫性質，或者說未能達到雙方面策略免疫，使得我們不可能設計出一種匹配機制，使得匹配雙方都如實地報告自己的偏好。

匹配經濟學有一個不可能定理：對所有的偏好狀況，不存在使得顯示真實偏好成為佔優策略的匹配程序。

通俗地說，就是沒有辦法讓每個人都顯示其真實偏好，或者說得償所願。

比如，在男求婚程序中，我們說一個女子接受的男子只是她的追求者中她最中意的，通常可能不是所有男子中她最中意的，因為她最中意的那個男子可能根本沒向她求婚，這就意味著穩定的匹配中有女子隱藏了自己的真實偏好，我們永遠不知道她最中意的男子是誰；但每個男子的偏好，則得到了真實的展示，因為根據他求婚的順序，我們就知道他對每個女子的排序了。

不過，我們也不必過於擔心面臨「不可能」問題。因為在男求婚程序中，男子真實地顯示了其偏好，因此女子所選擇的偏好一定是對男子偏好的最優反應，而不管女子宣稱的偏好是不是其真實偏好，與這種情況相應的匹配，也是穩定的。

關於作者：董志強，華南師範大學經濟行為科學重點實驗室主任，經濟與管理學院副院長，廣東省&34;特聘教授，博士生導師。

本文整理自《身邊的博弈》，經出版方授權「身邊的經濟學」原創首發。