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今天我們將送出由高等教育出版社提供的優質科普書籍《朗道傳》。
列夫·達維多維奇·朗道（Lev Davidovich Landau，1908-1968），蘇聯猶太人，號稱世界上最後一個全能的物理學家，因凝聚態特別是液氦的先驅性理論，被授予1962年諾貝爾物理學獎。
本書是第一本中文朗道傳記，作者是朗道夫人的甥女邁婭·比薩拉比。與以往介紹朗道的文章大都著重於朗道的科學成就和學術風格不同，本書更多地從私生活角度揭示了朗道管控自己和追求幸福的方式，可以幫助了解朗道其人及其學派，大為提升學習《理論物理學教程》的興趣。
只要你認真閱讀下面的這篇文章，思考文末提出的問題，嚴格按照 互動：你的答案 格式在評論區留言，就有機會獲得獎品！
作者：Chris Budd翻譯：Dannis審校：Nuor
我們大多數人都聽說過這個叫做黃金比例的數。比如說，它出現在《達文西密碼》這本書和改編的電影中，還出現在了許多文章、書籍，以及研究項目中，旨在向我們展示數學對現實世界的重要價值。許多作者（包括《達文西密碼》一書的作者）都將其視作自然界所有美麗圖樣的基石，有時它還被稱作「神聖比例」。
有人說很多很多藝術品或者建築都蘊含了黃金分割比在其中，譬如，據稱帕特農神廟和金字塔都是按照這個比例建造的。也有人說，人體上也有黃金比例的出現，比如說一個成年人的身高和他肚臍的高度的比值，再或者他手臂的長度與手掌長度的比值。
然而，在我研究數學在實際生活中的應用的整個學術生涯中，確切的講我只遇到了兩次這個「黃金比例」。是的，就兩次！所以，這些宣稱與「黃金比例」有關的事情是真的嗎？
到底什麼是黃金分割比？
首先我們來回憶一下到底什麼是所謂的黃金比例。它是由古希臘數學家歐幾裡得提出的如下的概念。設想你畫了一條線段，還想把它分成兩部分。你想把它照這個樣子分割：整條線段的長度和較長一段的長度的比值，要等於較長一段長度於較短一段長度的比值。那麼這個比值會是多少呢？
我們希望分割出A，B使得（A+B）/A=A/B
運用一點點數學就能得到這個比值：
Φ是由兩段長度的比值決定的，這意味著無論何時，無論你在觀察什麼東西——一張臉也好，一幢房子也好——你都會找到這樣一個比例關係。
人體中的黃金分割比
黃金比例應該算得上是人體中眾多比例的核心了，比如說一個完美的臉型，或者肚臍的高度與身高的比值。確實，據說完美的臉型上的每一部分的比例都跟黃金比例有關。
你可以把各種各樣的長方形疊加在一張漂亮的臉蛋上，然後宣稱從這些長方形的比值中可以「推導」出美麗來
然而這些都不是真的，而且差的不是一星半點。人體上有許多可能的比值，許多都是在 1~2 之間。要是你考慮足夠多的這些值，你應該能得到一堆接近黃金比例（在1.618附近）的數。當你測量的這些東西不是完全嚴格定義的時候尤其如此，因為你有可能去改變定義以期獲得你「想要」的比例。
要是你觀察得足夠仔細，你還會發現人體上有接近 1.6，5/3，3/2，根號2，42/46等等這樣的比值。確實，大多數這種介於1和2之間的數都可以用人體上的兩部分的比值來近似得到。類似的這種虛假相關模式也可以在太陽系中找到（當然，這其中有許許多多不一樣的比例供你選擇）。還有一點要知道的是，所謂黃金比例是一個無理數（如下文所示），也就是說你不可能在任何測量中確切觀察到它。
所有這些都是人類大腦尋找虛假相關的實例。實際上，給定了足夠多的數據之後，人們可以為任何一種假設找到相符的模式形式。一個好的證明這種說法的方法就是在一個大晴天出門去看看雲彩——早晚你總能找到一朵長著全新模樣的雲彩，舉個例子，比如說像BBC報導過的這個像布狄卡女王一樣的雲彩。
一旦虛假相關被用於通過數據證明某個觀點時，這種現象是十分危險的。比方說，（虛假相關）可能會導致錯誤的指控，甚至會導致錯誤的定罪。
螺線、黃金比例及其他東西
如果你取一條線段，分成A、B兩端並保證A/B滿足黃金比例，然後得到一個長寬分別為A+B和A的矩形。這樣一個矩形就叫做黃金矩形。
黃金矩形由一塊正方形（白色）和一個小號的長方形（灰色）組成。小號的長方形也是一個黃金矩形
我們剛剛得到的這個黃金矩形由一塊正方形和一塊小一點的長方形（它自身也是一個黃金矩形）組成。這個黃金矩形同樣由一塊正方形和一塊再小一點的長方形（自身還是一個黃金矩形）組成。以此類推。
簡單地把這些黃金矩形的正方形中畫1/4圓並相連，通過這樣一個越來越小的黃金矩形的隊列我們可以形成一個看起來像螺線的東西。
由黃金矩形構造出的螺線形狀
據說這個類似螺線的形狀經常出現在自然界和藝術領域的許多地方。比如鸚鵡螺殼的形狀，星系的形狀，颶風的形狀甚至是波的形狀。
這裡就有兩個問題了。首先這個形狀並不是螺線。它是由一列圓弧曲線組成的，當你從一個弧線來到另一個弧線的時候，螺線的曲率是跳變的。在任何一種自然現象中我們都幾乎看不到這種跳變。實際上，這個形狀只是真實螺線的一種近似。它近似的這種螺線形式是一種對數螺線。這種螺線在自然界中很常見，它們遵循極坐標方程：
這裡e是自然對數的底。自然界中我們到處都可以看到這種螺線，會根據具體環境取不同的a和b的值。這種曲線如此普遍是因為它們有這種自相似的特性。這意味著如果你把一條螺線以任何固定角度旋轉，你得到的會是一條按原始螺線縮放的螺線。
所謂的這種黃金螺線有一個特定的b值，
其中Φ是黃金比例（角度以弧度測量）。
這個數值為何特殊是沒有任何理由的。鸚鵡螺殼是一條對數螺線是因為自相似的特性允許螺殼能在生長的同時不改變形狀。觀測到的鸚鵡螺殼的對應的b值和上面的黃金螺紋沒有一點關係，事實上的螺殼的b值最常見是取0.18。
藝術與建築
這裡我們要小心一點。對於一些藝術家，像勒.柯布西耶，就故意在他們的作品中運用黃金比例。這是因為據說黃金矩形的比例在人眼睛是極其舒適的，並且從審美的角度來講，相較於其他矩形我們更青睞黃金矩形，從而可以將其應用於藝術作品中。接著就有說法稱在任何一個藝術或者建築作品中都能看到黃金比例。
證明黃金矩形使人感到舒適的證據其實是相當薄弱的。心理學研究表明，不同的矩形對於不同人群似乎呈現出一個很寬泛的喜好範圍，其中根號2比1的比例經常比其他情況更受青睞。測試一下你自己，看看以下矩形中你更喜歡哪一個。
根據基斯·德夫林的書《德夫林之角度：不會消失的神話》（Devlin's angle: The myth that won't go away）中所述，黃金比例與審美學掛鈎的說法主要來自於兩個人，其中一個為誤引，另一個為杜撰。被誤引的作者是盧卡·帕喬利，他在1509年寫過一本叫做《神聖比例》的書。這本書以黃金比例命名，但是並不是在探討基於黃金比例的審美學理論或者說什麼將黃金比例應用於藝術和建築的。這個觀點是在1799年被張冠李戴給帕喬利的。
帕喬利是李奧納多·達·文西的密友，於是經常有說法說李奧納多自己也在自己的繪畫中應用黃金比例。這一點並沒有直接證據證明。其中最著名的例子可能就是「維特魯威人」了，這幅畫中的比例並不符合黃金比例，而李奧納多確實僅僅提及了他作品中的整體的數字比值。設想在他作品中出現的這些黃金比例和在自然界中尋找這個比例是同一回事。
德夫林將黃金比例的普及歸因於19世紀的德國心理學家阿道夫·蔡辛。蔡辛聲稱黃金比例是可以描述「自然界與藝術領域的美和完善度」的普適性的規律，「…它作為一種重要的精神意義上的理想產物，滲透到了所有結構、形式和比例當中，無論是宇宙還是個體的、有機還是無機的、聲學還是光學的」。（以上）這是一個顯而易見的偽造的產物。然而蔡辛的工作之後影響了許多人，並且很大程度上導致了這個現代神話的形成。
這個神話的另一個例子，是據說雅典衛城的一部分，即帕特農神廟的比例中也出現了黃金比例。
所謂的在帕特農神廟上疊加出來的黃金螺線。然而並沒有證據表明在這個建築的設計中運用了黃金比例。背景所用的帕特農神廟的圖片來源：Oyvind Solstad, CC BY 2.0
希臘學者中沒有證據證明這一點，而且帕特農神廟中運用了黃金比例的說法只能追溯到19世紀50年代。進一步講，對於帕特農神廟的實際測量並沒有給出尤其接近於黃金比例的數值——除非你很仔細地去特意挑選用於測量的矩形。
實際上，帕特農神廟看起來十分和諧，是來自於線條的聰明選取——它們看似平行實則會匯聚或者會彎曲，所以事實上不可能去進行足夠精確的測量，以獲得確切的比例。因為帕特農神廟中的比例會隨著高度變化，所以不太可能找到一個滿足黃金比例的整體的劃分形式。
同樣的情況適用於其他希臘建築：沒有證據顯示希臘人在他們的藝術或者建築當中考慮或者使用過黃金比例以期得到審美上的愉悅。
這一點也適用於音樂。據說黃金比例在音樂創作當中十分重要——實際上並沒有證據證明這一點。然而在音樂創作當中，重要的是音階，音階是非常接近於
這個數——這個數才是音樂的核心，而非黃金比例。
這些關於黃金比例的經久不衰的傳言是有著很現實的危險的。學童們和其他許多人被灌輸了一種關於數學起作用的錯誤方式。而早晚他們會發現這是不正確的，從而對數學解釋世界的真實能力喪失信念。
偉大的現實
雖然上面一直對黃金比例持否定的態度，但是在這一節我想強調一下黃金比例究竟是怎樣令人驚奇的一個數——無需這些虛假的說法來使它變得特別。
首先，讓我們來看看一個和黃金比例真實有關的自然現象。黃金比例與著名的斐波那契數列密切相關：
斐波那契數列確實會出現在自然界當中，因為它與人口增長的方式以及圖形彼此契合的方式有關。舉個例子，這個數列出現在向日葵上葵花子的漩渦中，使得它們能以一種有序的形式彼此契合；它還出現在一些植物的葉子排布當中，這樣的排列使得植物能夠獲得最多的光照。這樣一來就有可能觀察到在某些自然現象中出現的接近黃金比例的比值。
這些現象包括蜂巢中雄峰對於雌蜂的分配問題，這涉及到了蜜蜂的多代繁殖問題。
斐波那契在思考理想情況下兔子數目的增長問題時想到了這個數列。
但是也許更有趣的是黃金比例的迷人的數學特性。但是我想提一點尤其迷人的、並且是使黃金比例有別於其他數的特性：它的極端的無理性。
無理數是那些不能被寫作分數形式，並且在十進位下寫作無限不循環形式的數。這個事實意味著很難在自然界觀察到無理數。黃金比例有個最奇妙的特性：它是這些無理數中最具無理性的數。這意味著，你不僅無法把它用一個分數表示，甚至都不可能輕易地用一個分數來近似表示它。
由於很難用分數近似表示黃金比例，對於那些研究同步進程的數學家和科學家來說，黃金比例很有用處。這種情況出現在當一個擁有固有頻率的系統被擁有不同頻率的東西受迫運動，並且同步於受迫頻率。一個例子便是人體對於每天的日照頻率的同步性。第二個例子就是地球的氣候同步於它繞太陽的軌道的自然周期。
然而，同步性自身也會成為一個問題，會帶來系統中的不需要的共振（比如行進中的隊伍走過懸索橋時會帶來橋體的劇烈振動）。通過選取兩個比例為1：Φ的頻率，我們可以避免同步性——得益於黃金比例的極端無理性。這個極為有用的特性被應用於腦科學研究、昆蟲種類研究，還被大氣科學家以及航空製造業的人們應用。
所以黃金比例確實是扮演了關鍵角色，但是不是以你經常在神話演義之類的東西中讀到的那樣。這一點是多麼的遺憾啊！這形成了一個可愛的悖論：關於黃金比例的最有趣的東西恰恰在於它不是用來做比例的。
原文連結：
https://plus.maths.org/content/myths-maths-golden-ratio
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編輯：aki
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