01祖𣈶原理PK卡瓦列裡原理
卡瓦列裡（Cavalieri, Francesco Bonaventura, 1598—1647年11月30日）是義大利數學家和物理學家。他生於米蘭，是伽利略的學生。1613年加入耶穌教會．1629—1647年任波倫亞大學數學教授。
他是當時最有影響的數學家之一．他把伽利略不可分法的思想發展為幾何學，提出線是由點構成的，面是由線構成的，體是由面構成的無限細分積零為整的概念．他利用克卜勒無窮小几何數的思想，把阿基米德的窮舉法發展為除不盡方法，這是積分學的最初思想。
他在1635年發表的《不可分量幾何學》被譽為數學史上的裡程碑．提出了如下原理，被命名為卡瓦列裡原理：
（1）如果兩個平片處於兩條平行線之間，並且如果平行於這兩條平行線的任何直線與這兩個平片相交，所截二線段長度相等，則這兩個平片的面積相等。
（2）如果兩個立體處於兩個平行平面之間，並且如果平行於這兩個平行平面的任何平面與這兩個立體相交，所截二截面面積相等，則這兩個立體的體積相等。
卡瓦列裡原理不難用現代的微積分理論給出嚴格證明，但是作為一名中學生，還沒有學習微積分時，如果作為直觀上的顯然結果，而承認這兩個原理，就能解決許多求面積和求體積的問題．只用初等數學方法，而不需用更先進的微積分方法。
祖𣈶（ɡènɡ），亦名祖𣈶之，是我國著名數學家祖衝之（公元429—500）的兒子，他的活動時期大約在公元504—526年。是南朝齊梁間數學家，曾任太府卿。祖氏父子在數學和天文學上都有傑出貢獻。
祖𣈶在修補編輯祖衝之的《綴術》時，提出了著名的祖𣈶原理，並巧妙地推導出球體積公式。
祖𣈶原理也稱祖式原理，一個涉及幾何求積的著名命題，公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖𣈶的開立圓術，祖𣈶在求球體積時，使用的一個原理：「冪勢既同，則積不容異」。意即：「夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行於這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那麼這兩個幾何體的體積相等。」
祖𣈶之《綴術》有云：「緣冪勢既同，則積不容異。」
由此可見，祖𣈶原理與卡瓦列裡原理2完全相同。然而祖𣈶提出這個原理的時間卻比卡瓦列裡早一千多年，因此，這個數學史上的裡程碑理所當然地應立在祖𣈶的名下。儘管「正名」的工作比較複雜，但是，中國人在數學史上的貢獻是不容置疑的。
也有一些學者認為，其實卡瓦列利定理是說：兩個同高的立體，如在等高處的截面積成固定比，則體積也成同樣的比例，所以比祖𣈶原理稍微廣泛一些，但這根本不是重點。
卡瓦列利之所以能提出卡瓦列利定理，是因為他繼承和發展了前人關於不可分量的思想。在他的專著中他認為面積是無數個等距平行線段構成，體積是無限多個平行的平面面積構成，並把這些元素稱為面積和體積的不可分量。
這種不可分量的思想已經和現代積分的思想比較接近了。卡瓦列利關於不可分量的思想後來經過費馬等人批評，繼承，演化成無窮多個無窮小長方形逼近面積的思想，再演化成昨天文章中提到的初等方法，並最終孕育出現代積分的思想。這也正是卡瓦列利被譽為「微積分的先驅」的原因，實際上，他是最重要的微積分先驅之一。
02用定理求出有關圖形的面積和體積
卡瓦列利正是用這種不可分量的思想導出卡瓦列利定理，並用這個定理求出許多圖形的面積和體積。
1. 橢圓的面積
下面我們來應用卡瓦列裡原理得出求橢圓面積的公式。
建立直角坐標如圖1所示：
在同一個坐標系下橢圓和圓的方程分別為
在第一象限部分解出y分別得到
由此可知，橢圓和圓的相應縱坐標之比是b/a.所以橢圓和圓的相應弦之比也是b/a.因此，根據卡瓦列裡原理1，橢圓和圓的面積之比也是b/a.從而得出橢圓面積為
2. 球的體積
很多時候，原理在左，方法在右，中間就是苦思冥想的你，數學中很多原理都是簡單易懂的，甚至有可能在我們的基因中就編碼好了（僅個人猜想，沒有科學證明，或者說我沒有見到相關的科學資料的驗證。）懂了原理後，如何允許這些原理解決問題，是需要花大量的時間和精力去學習，去理解其中的技巧，比如，利用祖𣈶原理推導球的體積，想法上也不難，就是要構建一個模型：使得兩個平行平面間有一個「球」與另一個「幾何體」，被平行於這兩個平行平面的任何平面所截，截得兩個截面的面積總相等，這樣就可以將球的體積轉化為這個幾何體的體積。
早在公元前3世紀，古希臘的阿基米德就給出了球的體積公式。他用一種奇妙的力學方法，算出半徑為r的球體積是半徑為r、高為2r圓柱體積的三分之二，並用窮竭法給出了證明。阿基米德的方法已經有了微積分思想的雛形，不過沒有用上祖𣈶原理。
卡瓦列裡原理的一個極為著名的應用是由早於卡瓦列裡兩千多年的阿基米德所實現的對球體積的精妙絕倫的計算。
下面我們應用祖𣈶原理來推出球體的體積。
如圖2所示，左邊是一個半徑為R的半球；右邊是一個半徑為R、高也為R的圓柱，套一個以上底為底、以下底中心為頂點的倒放的圓錐。這個半球和挖出圓錐的圓柱處在同一平面上。這樣，用平行於底面、與底面距離為h的平面截兩個立體，所得截面一個是圓形面、一個是圓環面，如陰影所示。
下面用動態展示來分析這個經典的案例：構造一個與球等高的圓柱，在其中挖去一個「沙漏」形狀的圓錐，剩下的一個「幾何體」，恰好滿足條件。
關鍵的圖形來了，先看圖，你是否能參透其中的玄機？
由上面的動圖可以看出，我們從底面半徑為r、高為2r的圓柱體挖去兩個高為r的圓錐，所得到的剩餘部分與半徑為r的球體進行逐層比較，你會發現二者在每個高度上的截面積都是相等的。就這樣，球體的體積等是圓柱與兩個圓錐的體積之差：
這就證明了球的體積公式。
阿基米德的方法真巧妙，我們不得不讚嘆他的偉大！後來的卡瓦列裡原理更加重要。 正如萊布尼茨在給曼弗雷迪的一封信中所說：「幾何學中的卓越人物、完成了這一領域中義勇軍任務的開拓者和倡導者是卡瓦利裡和託裡切利，後來別人的進一步發展部得益於他們的工作．」
3. 球環的體積
作為祖𣈶原理的應用，讓我們來求球環的體積。
把一個半徑為R的球挖去一個孔，這個孔的半徑為a，軸線與球的極軸重合，如圖3所示。
我們用直徑等於球環之高的一個球作為用來進行比較的體積，如圖3所示。
現在，我們用與這兩個立體的中心距離為h的一個水平平面截這兩個立體。對於球環，我們得到一個環形截面，它的面積是
對於球，我們得到一個圓形截面，它的面積是
由此可知，
根據祖𣈶原理知，球環的體積V環與半徑為r的球的體積是相等的。用球的體積中得出的結果
03 在考題中巧用
04 PK後的反思
在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數學家阿基米德發現，但「祖𣈶原理」是在獨立研究的基礎上得出的，且比阿基米德的內容要豐富，涉及的問題要複雜，二者有異曲同工之妙。
根據這一原理就可以求出牟合方蓋的體積，然後再導出球的體積。這一原理主要應用於計算一些複雜幾何體的體積上面。在西方，直到17世紀，才由義大利數學家卡瓦列裡發現。從西方這條數學發現主線來看，卡瓦列裡是發明微積分的牛頓和萊布尼茨的先驅。
幾乎是同樣一個定理，在西方，卡瓦列利定理背後是不斷演化，最終孕育微積分的不可分量思想，而在中國，祖𣈶原理卻僅僅用來求錐體和球體體積，甚至沒有探究為什麼祖𣈶原理會成立。這種對比也可以看出中國古代數學落後的根源：追求實用，追求現實目的，沒有探究數學公式或原理背後的更抽象更深刻的思想和邏輯。