定理3.8(歸結原則):設f在U(x0;δ』)內有定義。lim ( x→x0 ) f(x)存在的充要條件是:對任何包含於U(x0;δ』)且以x0為極限的數列{xn},極限lim ( n→∞) f(xn )都存在且相等.
證:[必要性]若lim ( x→x0 ) f(x)=A,ε>0,有正數δ1(≤δ』),
使當0<|x-x0|<δ1時,|f(x)-A|<ε.
設{xn}U(x0;δ』)且lim ( n→∞) xn=x0,
則對δ1,有N>0,使當n>N時,有0<|xn-x0|<δ1,
從而有|f(xn)-A|<ε. ∴lim ( n→∞) f(xn )=A.
[充分性]若{xn}U(x0;δ』)且lim ( n→∞) xn=x0,
則對δ>0(≤δ』),有N>0,使當n>N時,有0<|xn-x0|<δ,
設lim ( n→∞) f(xn )=A,ε>0,存在正數δ2,
使當0<|xn-x0|<δ2,有|f(xn )-A|<δ2,∴當0<|x-x0|<δ2,有|f(x )-A|<δ2,
∴lim ( x→x0 ) f(x)=A.
註:1、歸結原則可簡述為:
lim ( x→x0 ) f(x)=A<=>對任何xn→x0(n→∞)有lim ( n→∞) f(xn )=A.
2、若有以x0為極限的數列{xn},使lim ( n→∞) f(xn )不存在,或兩個以x0為極限的數列{x』n}與{x」n},使lim ( n→∞) f(x'n )與lim( n→∞) f(x"n )都存在但不相等,則lim ( x→x0 ) f(x)也不存在.
例:證明極限lim ( x→0) sin (1/x)不存在.
證:設x』n=1/(nπ) , x」n=1/(2nπ+π/2) (n=1,2,…),則x』n→0,x」n→0(n→∞),
sin 1/x'n →0,sin 1/x"n →1(n→∞),
由歸結原則可知lim ( x→0) sin (1/x)不存在.