我還是推薦系統小白，因此對此課題理解相當淺顯，但一定很好懂。這才是學一樣新東西的正確開始方式。
故事的背景包括 4 個小孩和 5 部動畫，每個小孩為每部動畫打分
悠悠覺得「小豬佩奇」還可以，給了 3 分。建立一個 4 × 5 的矩陣
每行代表一個小孩給所有動畫打的分數
每列代表一部動畫被所有小孩打的分數
當悠悠給「小豬佩奇」打完分後，在矩陣第 1 行第 1 列填入 3 分。
假設 4 個小孩為 5 部動畫打分完畢，哪一個打分矩陣最像真的？
最左邊不像，小孩的喜好不會這麼千篇一律
最右邊不像，小孩的喜好不會這麼毫無聯繫
中間的最像，小孩的喜好會有一定的規律
悠悠和丫丫年齡差不多，總在一起看動畫片，她倆的對動畫的品位出奇相似（5 部動畫給出同樣的評分），比如大愛「小豬佩奇」，小愛「獅子王」，不喜歡「冰雪奇緣」「超人特工隊」「瑪莎和熊」。
規律 1：不同用戶的喜好可能相似。
樂樂喜歡看帶「人物」的動畫，他給「冰雪奇緣」和「超人特工隊」高分；丫丫喜歡看帶「動物」的動畫，她給「小豬佩奇」和「獅子王」高分；多多還比較小，只要是動畫都喜歡，他給所有動畫高分（多多給的分是樂樂和丫丫給的分之和）。
規律 2：一個用戶的喜好可能包含其他多個用戶的喜好。
「瑪莎和熊」的評分是「獅子王」和「冰雪奇緣」的評分的均值。可能原因是「獅子王」裡只含有動物，「冰雪奇緣」裡絕大部分是人，而「瑪莎和熊」裡既有動物又有人，而且數目相當。
規律 3：一個動畫內容可能包含其他多個動畫內容。
先看一個最簡單的推薦系統。
當所有人給所有電影打 3 分，問丫丫應該給「超人特工隊」打多少分？
從評分矩陣來看，每個人對每個電影喜歡一樣，因此預測出丫丫會給「超人特工隊」打 3 分。
再看一個稍微複雜的推薦系統。
問丫丫應該給「瑪莎和熊」打多少分？
從評分矩陣第一行和第三行來看，悠悠和丫丫的喜歡相同，因此預測出丫丫會給「瑪莎和熊」打 2 分，和悠悠一樣。
上面例子太簡單，如果小孩有很多個，動畫有很多部，我們怎麼才能從評分矩陣中學到所有的規律呢？
答案：找到隱含特徵！
回到上面的例子，如果特徵是動畫片的類別，那麼特徵值有兩個，人物類和動物類。那麼根據不同小孩對這兩類動畫特徵的喜好，如上圖，
悠悠和丫丫喜歡動物類，不喜歡人物類
樂樂喜歡人物類，不喜歡動物類
多多都喜歡
再根據具體動畫片含這兩類特徵的比重，如下圖
我們可以將 4 × 5 的評分矩陣分解成
4 × 2 的「小孩-特徵」矩陣
2 × 5 的「特徵-動畫」矩陣
如下。
因此我們要做的事情就是講評分矩陣分解成兩個非負矩陣的乘積，專業術語是非負矩陣分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）, 機器學習包 Scikit-Learn 裡有實現哦。
import numpy as npfrom sklearn.decomposition import NMF用上面數據試了下，雖然分別的矩陣不是完全一樣，但矩陣中是 0 的還是 0，其他元素只是差了一個縮放因子（scaling factor），你看最後把兩個分解矩陣相乘，差不到能得到原來的評分矩陣。
實際情況下，不可能每個小孩對每部動畫都給出評分，因此不能直接用 NMF，那些缺失值才體會推薦系統的價值，我們要根據已有的評分來預測未給的評分，再決定是否推薦。
實際情況，打 ？都是未給出評分，這時
設「小孩-特徵」矩陣為 U
設「特徵-動畫」矩陣為 V
用以下誤差函數（只考慮未缺失的 Ri,j）
(Ri,j – U 第 i 行和 V 第 j 列內積)2
怎麼解？梯度下降唄！解完 U 和 V 後相乘發現 R4,4 = 5，那麼妥妥的給多多推薦獅子王！
讓我知道你「在看」