DEF分別是正四面體稜上的點且PE≠PF求四面體P-DEF體積?關鍵在這

原題

原題：已知正四面體P-ABC中，D，E，F分別在稜PA，PB，PC上，若PE≠PF，且DE=DF=√7，EF=2，則四面體P-DEF的體積為？

圖一

圖二

題中要求的是四面體P-DEF的體積，但是D，E，F這三點既不是正四面體邊上的中點，它們所圍成的四面體P-DEF有也不是規則的四面體，且明確的說明PE≠PF，那該如何求該四面體P-DEF的體積呢？

這道題中除了給出三角形DEF的三邊外，就是正四面體P-ABC，所以還是要從給出的已知出發，進一步的得出PE，PF，PD的值。

得出PE，PF，PD的關係或者值

為了簡化計算，我們可以分別設PE，PF，PD的值為x，y，z。

為了建立它們三者之間的關係，尤其是在三角形中建立邊之間的關係，一般均使用餘弦定理。

因為四面體P-ABC是正四面體，所以∠EPF=∠DPE=∠DPF=60度。

在三角形PEF中，根據餘弦定理有EF^2=x^2+y^2－2xycos60度，又因為EF=2，所以整理得到x^2+y^2－xy=4①；

在三角形DPE中，根據餘弦定理有DE^2=x^2+z^2－2xzcos60度，又因為DE=√7，所以整理得到x^2+z^2－xz=7②；

在三角形DPF中，根據餘弦定理有DF^2=z^2+y^2－2zycos60度，又因為DF=√7，所以整理得到y^2+z^2－yz=7③。

圖三

這樣就得到了PE，PF，PD三者之間的關係式①②③式，而①②③式就構成了三元二次方程組，那如何解這三元二次方程組就成了關鍵。

解該三元二次方程

對於這樣的式子我們不能盲目的去解決，要仔細的觀察，找到解方程的入手點。

觀察發現②③式子是相同的，不同的是一個是x，一個是y，所以我們可以將x和y看成是方程t^2－zt+z^2－7=0的兩個解，而z看成是一個常數，所以該方程就是變成了二元一次方程。

根據二元一次方程的特點有x+y=z，xy=z^2－7，再將x+y=z，xy=z^2－7代入①式子中就可以得到只關於z的方程，即z^2－3(z^2－7)=4，解得到z=√17/√2，將z=√17/√2代入xy=z^2－7中，解得到xy=3/2。

圖四

接下倆我們無需將x和y的值求出來，因為xy的乘積在乘以角EPF的正弦就是三角形EPF的面積，再求出D點到該面的距離即可根據三稜錐的體積求出P-DEF的體積。

求出D點到面EPF的距離

要想求出點D到面EPF的距離，就要得出PD與面EPF的夾角，而它們的夾角實際就是PA與面PBC的夾角。

圖五

取BC的中點M，連接AM，PM。

因為四面體P-ABC是正四面體，設該正四面體的邊為a，則有PM=AM=√3a/2，PA=a。

在三角形APM中，根據餘弦定理有AM^2=PA^2+PM^2－2PA·PMcos∠APM，而∠APM就是PA和面PBC的夾角，也是PD與面PEF的夾角。

解得到cos∠APM=1/√3，根據(cos∠APM)^2+(sin∠APM)^2=1得到sin∠APM=√6/3。

所以點D到面EPF的距離就為PDsin∠APM=√17/√2×√6/3=√17/√3。

求出四面體P-DEF的體積

因為四面體D-EPF的體積和四面體P-DEF的體積相等，所以只要求出四面體D-EPF的體積即可。

根據四面體的體積公式有V=1/3×h×S底，所以得到四面體D-EPF的體積為V=1/3×PDsin∠APM×S△EPF=1/3×√17/√3×1/2×3/2×sin60度=√17/8。

所以的就到了四面體P-DEF的體積為√17/8。

圖六

總結

解這道題時，主要是從已知出發，根據已知再構建出更多的已知，但是不要盲目的去求解，浪費沒必要的時間。

這道題主要考察了我們觀察的能力，不善於觀察，很難快速的解出三元二次方程z的值。

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