凱利公式

☀ 題引

1955 年，有個「64000 美元問題」的電視節目風靡全美（由哥倫比亞廣播公司推出，答題者不斷答題，答對獎金翻倍，答錯獎金全無，當時收視率達到了 85%），因為該節目在紐約錄製，東海岸現場直播，但西海岸會延時 3 小時左右，所以西海岸賭徒利用這個延時，先電話得知結果，再在西海岸直播前下注

受此啟發，美國 AT&T 貝爾實驗室的約翰·拉裡·凱利（John L.Kelly,Jr.）參考同僚克勞德·艾爾伍德·夏農（Claude Elwood Shannon）在長途電話線噪音上的研究，於 1956 年在《貝爾系統技術期刊》發表了一篇名為「信息比率新解」的論文，該論文在說明夏農的資訊理論如何應用在一名有內線消息的賭徒在賭馬時的投注問題時，提出了著名的凱利公式

☀ 公式

投注比例 = (bp-q)/b

（b：盈虧比；p：成功率；q：失敗率）

☀ 解析

bp-q：即期望值，只有期望值為正時才能投注

b：盈虧比，在期望值相同的情況下，投注比例隨盈虧比提高而減少

（A. 成功率為 20%，盈虧比為 5

則 A 的期望值 = 20%，投注比例 = 4%

B. 成功率為 60%，盈虧比為 1

則 B 的期望值 = 20%，投注比例 = 20%

C. 成功率為 80%，盈虧比為 0.5

則 C 的期望值 = 20%，投注比例 = 40%

綜上所述，就盈利速度而言，C > B > A）

☀ 案例

麻省理工學院教授愛德華·索普經同事夏農介紹，將凱利公式應用於 21 點的投注比例計算。於 1961 年發表《財富公式：21 點制勝策略》數學論文，並於 1962 年出版《戰勝莊家》，期間他成功贏遍各大賭場，直至被賭場拉入黑名單

（一群麻省理工和哈佛的學生看了《戰勝莊家》後，對其中的方法進行改良，並再次應用到賭場中，後來他們的經歷被拍成了一部叫《決勝 21 點》的電影）

此後，索普建立的兩支量化交易對衝基金表現卓著

（第一支對衝基金 PNP 公司從 1969 年到 1988 年，年均複合回報率為 19.1%；期間有 227 個月贏利，僅有 2 個月虧損，而且虧損幅度在 1% 以下，勝率高達 98.7%

第二支對衝基金山脊線合夥公司從 1992 年到 2002 年，年均複合回報率為 21%，年波動率僅為 7%）

在其著作《短線交易秘訣》中透露，他在 1986 年看到凱利公式後，便將其應用於期貨交易，並於 1987 年贏得了羅賓斯期貨交易世界盃冠軍，其 11376% 的收益率至今未被超過（12 個月內完成了從1萬美元到超過 110 萬美元的交易）

後來，他 17 歲的女兒米切爾·威廉斯（Michelle Williams，2018 年上映的漫威電影《毒液》的女主角）按他的方法以 1000% 的收益率奪得 1997 年羅賓斯期貨交易世界盃冠軍

☀ 提醒

1、賭 21 點時，可能產生的虧損僅限於你所放進去的籌碼，而帶有槓桿的期貨不同

2、需要提防虧損最大的那筆交易（造成資產劇烈波動的原因並不是勝率，也不是盈虧比，而是來自虧損最大的那筆交易）

3、凱利公式只考慮勝率和盈虧比（這種考慮是純理論的，與實際交易無關），它沒有考慮到連續虧損和黑天鵝事件（在現實世界裡，小概率事件的概率往往被低估了）

4、凱利公式所針對的投注比例是你可承受損失資金的百分比

（比如你有 10 萬本金，但最大可承受虧損為 5 萬，若凱利公式計算出來的投注比例是 50%，那麼，單筆投注金額應為 2.5 萬，而非 5 萬）

免責聲明：本文涉及的所有信息，包括但不限於所有的文字、數據、圖表等信息，僅供參考。本公眾號對文中陳述、觀點判斷保持中立，不對所包含內容的準確性、可靠性或完整性提供任何明示或暗示的保證。以上聲明內容的最終解釋權歸本公眾號所有