泰勒級數大家應該都很熟悉了，如下所示，它可以計算任意函數f(x)所有階導數在a處的值
如下就是e^x在0附近時的無窮級數形式，它是最簡單的也是最有用的級數之一，它的導數就是其本身
我們現在用幾何原理來解釋泰勒級數的前幾項，這是非常有趣的，可以很好地拓展我們的數學視野
用到的基礎數學知識就是微積分基本定理，如下是任意函數f(x)曲線下的面積，它可以用牛頓-萊布尼茲公式得到
所以面積函數的導數就是函數本身f(x)，我們在圖中取一小段dx，黃色部分的面積近似等於dx乘以函數在該處的高度
我們為了得到更精確的結果，就需要考慮紅色近似三角形的面積，我們取如下的增量(x-a)，三角形的底就是(x-a)，高為：斜率X*底(x-a)
我們將高換成導數的形式：H=面積f(x)在a點的二階導數，如下圖所示
所以黃色三角形的面積就是：底X高X1/2，如下圖所示
這就和泰勒級數或麥克勞林級數的二次項一樣了，
我們已經知道了點a附件的導數信息，所以面積f(X)=黃色矩形面積+近似三角形面積+藍色區域面積，黃色矩形的面積是關於一階導數
所以就得到泰勒級數二次項以下各項的幾何原理
備註：思路和圖片取自3blue1brown，大家有興趣可以去學習下完整的視頻。