離散數學的轉角遇到愛:向左走,向右走

2020-12-27 澎湃新聞

原創 Helen 羅博深數學

作者 | Helen

文 2013字 閱讀時間約 7分鐘

導語

本文作者Helen是CMU數學系大三學生、羅教授的忠實小迷妹。在一節羅教授的離散數學課堂上，「看著羅教授提筆畫的那個奇奇怪怪的方陣」，她的思緒在這個方陣裡彎彎繞繞，於是這裡開始了一個下午的胡思亂想......

很久很久以前，有這樣一個世界，這個世界由許許多多的迷宮構成，每個人都想要走到彼岸去。最簡單的迷宮可能是這樣的一個小方塊，總共就只有兩條路，怎麼走都走得通。左邊一條路，右邊一條路，條條大路通羅馬。

再複雜一點的迷宮，是一個小方陣。我們稍加思索，也能找到有幾條通往彼岸的路，就像下圖從小A通往小B的迷宮。

如果每一次，我們都只能沿著最短路線走，不能走回頭路，也就是只能向左下方和右下方走，一共有幾種走法呢？

首先我們看看，小A要走到小B處，不管怎麼走，我們都得往左下走三步，往右下走三步。如果想像不夠直觀，那我們挑兩條路來走走看。是不是稍微有一點點感覺了？把藍色歪歪曲曲的線段落整齊，其實得到的就是橙色線路的輪廓。

接下來我們要引入一個新的概念，叫choose，也就是選擇，它是一個基本的排列組合概念，可以用

來表示，用來解決一些很實際的問題，比如，要我從五條不同的路裡面選出任意三條，就表示一共有

種不同的選法。

想想看這和我們的問題有什麼關係？

小A是個很執著的人，這個世界奇形怪狀的迷宮和對岸的小B對他來說真的太可愛了。他看著窗外熙熙攘攘的行人，恨不得馬上到達小B的那一邊。通往小B的路究竟有多少條？要怎麼走才不會迷路？於是他靠著窗戶想了又想，就著布滿霧氣的窗戶，一筆一畫寫出來這麼幾個透明的字：

右右右左左左

左右右左左右

小A的腦海裡，沿著這兩行指示，走出來兩條路，一條藍色的，一條橙色的。他想了想，一共要走六步，三步往左，三步往右，只要左左右右排列組合的順序不一樣，我們就能找到不同的路。那這樣的話，每六步裡面，我們選出三步往右走，剩下的三步自然就是往左走，也就等於選出了一條路。那麼，我們知道一共有

條路通往小B 了！其實不光是正方形的迷宮。任何長方形的迷宮都可以這樣解決。你能想到嗎？

黑板上，羅教授改了幾筆，擦掉了幾條線，問題一下子變得複雜起來了。

我眼前又浮現出抱著膝蓋的一個小A，跟羅教授的粉筆一起，回到了起點。小A知道自己心裡缺了點什麼的，這個迷宮裡缺了一條路。每次小B 早上起來提著水壺給花澆水的時候，都看得到小A 在窗臺上寫寫畫畫。小B 覺得他很可愛，於是也認認真真地看起了通向小A 奇形怪狀的迷宮。

後排的小哥舉起手說：我們先找出所有走不了的路，再把它們都去掉不就好了。小B 聽到了，我也聽到了。現在我們要計算所有經過了ba這條路的路線。要經過ba，必須經過b點，然後緊接著從a點出發。那就分成兩部分，一部分看B->b, 一部分看a->A。根據小A的算法，B->b 有

條路，a->A有

條路。我們每次在B->b 選一條，a->A 選一條，那麼經過ba的路線一共有 2 x 3 = 6 種不同的路。也就是說，通往小A的路，只有

條。

羅教授看我們思考地很快，大筆一揮，又刷刷刷去掉了一些線路。

兜兜轉轉地，這兩個小傻瓜怎麼走也走不到一起。小A的心裡一天比一天更荒涼下去了，他們之間的迷宮越來越奇怪了。再按照原來的思路，要涉及到好多不同的點和線，實在太複雜了。

然後羅教授開始在圖上標數字，初看起來好像並沒有什麼特殊含義，仔細讀起來，才恍然大悟。我們每走一步，都依賴於前一步的結果，在這幅圖裡，每一步，都可能有兩個方向的來處，那要到達這一點，只可能從這兩個來處。所以我們能知道，從起點通往這一點的路線，是所有從起點通往來處的路線的總和。只要我們根據這個原理一步一步標註下去，最後就能找到所有的路線。不管這個迷宮有多麼奇形怪狀。

當然了，我也不知道這個故事最後發生了什麼。如果你願意相信，像小時候聽過的每一個童話故事一樣，小A和小B一定都走出了迷宮，在彼此心裡永遠定居。

還記得小時候看一個笑話，說數學啊，你趕緊長大吧，該學會自己解決自己的問題了。可是二維空間裡的小傻瓜啊，他們怎麼解決自己的問題呢？是我們在解決這些亂七八糟的問題之後，悄悄地長大了吧。從此以後在各種各樣的迷宮裡跌跌撞撞，但願還能像走今天的迷宮一樣，化繁為簡，找到方向。或許你的迷宮曲曲張張不知道有多少彎繞，或許這個世界迂迴蜿蜒不知道有多少溝壑，但願我們都再也不會迷路了。

* 本文內容屬羅博深數學及其母公司Expii, Inc所有，如需轉載請聯繫羅博深數學團隊，未經授權請勿轉載。歡迎轉發本文與全世界的朋友分享數學、教育的樂趣。

往期精選

» 6年級兒子和伯克利大學生連打兩天比賽：戰勝自己，孩子就成功了一半

» 那些在網上傳瘋了的數學題（一）——幾何篇

» 那些在網上傳瘋了的數學題（二）——代數篇

» 中學生也能看得懂的無窮問題！

» 孩子注意力不集中怎麼辦？

- 點擊海報了解課程詳情 -

150分鐘免費體驗課程火熱放送中

原標題：《離散數學的轉角遇到愛：向左走，向右走》

閱讀原文

相關焦點

  • 音樂劇《向左走向右走》帶你進入「幾米時間」
    音樂劇《向左走向右走》第四度搬上舞臺，對王若琳的歌聲很是期待呢。北京的胖友們還可以看到《向左走向右走》的人偶展和攝影展，願我們最後都能相遇。2010年，幾米音樂劇《向左走向右走》與幾米星空特展先後登陸北京，掀起一股幾米熱。六年後，三位華語歌壇唱將魏如萱、王大文、王若琳將攜幾米音樂劇《向左走向右走》再闖北京，於3月24日至27日在天橋藝術中心連演四場。
  • 幾米音樂劇《向左走 向右走》
    音樂劇《向左走向右走》4度搬上舞臺！這次將由創作歌手魏如萱、新晉藝人王大文與創作型才女王若琳領銜主演。
  • 向左走·向右走
    ▼▼回家的地鐵上捧著大開本的《向左走向右走》看著第三遍。少到不能再少的旁白，卻生動勾畫出「他」和「她」的相遇分別再相遇。喧鬧嘈雜的都市，人人都寂寞，「他」和「她」也不例外，都有孤單難過的時候。可是有多少人能完全抵擋「不要一個人」的念頭？ 忽然想起了村上春樹的「百分百女孩」。有多少人真正知道自己的「另一半」是什麼樣？
  • 加座開票 音樂劇《向左走 向右走》
    幾米繪本《向左走，向右走》自1999年出版至今，被翻譯成十個不同語言的版本，累積銷售超過百萬冊。改編自幾米經典繪本的音樂劇《向左走向右走》，邀滬上男女品味命中注定的浪漫愛情，融化城市裡的孤獨與寂寞。音樂劇《向左走向右走》/《反正大家都愛過》故事：有關［一見鍾情］的浪漫愛情故事描述一個寂寞的城市，一對比鄰而居卻從不相識的寂寞男女，因為他出門一定向左走、而她卻總是向右走…有一天他們終於相遇並一見鍾情，但一場大雨讓兩人匆促分手，留下的電話號碼也因為雨水而模糊不可辨認，因此一度握在手中的幸福風箏又斷了線。
  • 放映會:根據幾米漫畫改編的電影《向左走,向右走》
    愛幾米的、想懷舊的、喜歡高顏值CP的小夥伴，歡迎大家來觀賞哦！故事靈感《向左走，向右走》是根據臺灣繪本作家幾米的名著改編，幾米本人也參與這部電影的拍攝。《向左走，向右走》的故事圍繞著一對男女的緣分發展，深得廣大讀者的共鳴。影片的故事開始於男女主角居於同一幢公寓只有一牆之隔的兩所房子，靈感來自幾米的真實生活。90年代，幾米家隔壁鄰居的房子裝修，不停有鑿牆聲。
  • 遇見-孫燕姿歌曲,電影《向左走,向右走》的主題曲
    《向左走，向右走》是由杜琪峯、韋家輝執導，梁詠琪、金城武領銜主演的愛情片，改編自臺灣漫畫家幾米的漫畫《向左走向右走》。
  • 幾米漫畫經典----《向左走向右走》(上)
    每次出門，習慣的她向左走，他向右走。永不碰頭。 他們走過同一條街道，餵過同一隻流浪貓，抱過同一個孩子，在同一場大雨奔回家，聽同樣的廣播，同樣的寂寞。不練琴時，他喜歡在外面閒晃，繞到城裡的公園去餵鴿子，常常呆坐整個下午。11月11日 午後，開始颳起一陣陣的冷風。有時候他會覺得空虛無力。
  • 影評·向左走,向右走
    其中印象深刻的要數1999年幾米創作的《向左走，向右走》。冬日的早晨，一男一女拖著黑色皮箱一左一右相背而行的畫面，經典，浪漫、感動、唏噓，無奈。     或許，正因如此，才有把它搬進大屏幕的噱頭，才有讓人樂此不疲、念念不忘的資本。而成就這部電影的CP男女——金城武、梁詠琪，承包了2003年所有上畫影片的浪漫熱點，執導人杜琪峯、韋家輝再一次刷新港產愛情片的記錄。
  • 福利|幾米音樂劇《向左走向右走》
    2008年，當廣為人知的幾米繪本《向左走向右走》被第一次改編成音樂劇的時候，就吸引了諸多讀者粉絲以及都市男女的目光——因為這部劇並沒有沿襲百老匯歌舞昇平的路線
  • 王大文魏如萱王若琳主演幾米《向左走 向右走》
    向來勇於自我挑戰的大文，在新的一年，更首次挑大梁演出幾米音樂劇《向左走 向右走》，3/18、19率先在上海文化廣場演出，顛覆觀眾對《向左走 向右走》繪本中的印象，女主角魏如萱以調皮、古怪的特質融入人物性格，搭檔男主角王大文自然流露的斯文靦腆，兩人截然不同的個性，互動時所碰撞出的電流和火花，感受到的心動、悸動，尤其，魏如萱古靈精怪的個性，常逗得王大文無力招架，但大文自然純真的反應，在舞臺上的化學變化，
  • 《向左走向右走》翻拍泰劇變恐怖片!童話愛情大灑狗血
    記者陳芊秀／綜合報導 臺灣插畫家幾米以溫馨畫風走紅全球，代表作之一《向左走向右走》描述都會男女的浪漫愛情，2003年被翻拍電影，由金城武搭檔梁詠琪，2004年被翻拍陸劇，由陸毅、賈靜雯主演，故事轟動一時。
  • 《向左走,向右走》,其實我是想看王若琳
    或者勇敢地出走、離開、改變? 多雲時晴的愛情都心，降雨機率如何預測? 命運狡詐的圈套如何擺脫? 並行線如何終於交會… 幾米繪本《向左走，向右走》自1999年出版至今，被翻譯成十個不同語言的版本，累積銷售超過百萬冊。
  • 幾米漫畫——向左走向右走
    10月26日，風吹過，葉子搖搖晃晃落下來
  • 這個周末在上海,我只想和你「向左走向右走」
    點擊觀看《向左走向右走》音樂劇預告《向左走向右走》描述了一個寂寞的城市，一對比鄰而居卻從不相識的寂寞男女，因為「她」出門一定向左走，而「他」卻總是向右走《向左走向右走》是詩人導演黎煥雄、橫跨劇場與流行的音樂人陳建騏繼《地下鐵》、《幸運兒》後，第三度改編超人氣插畫家幾米作品的音樂劇。
  • 向左走?向右走?送給大城市裡,每一顆孤寂的靈魂
    向左走，向右走昨天去圖書館，無意間發現了臺灣作家幾米的繪本——《向左走，向右走》，十幾歲的時候，僅把它當作漫畫書翻閱，而今再次細讀，卻在書裡找到了許多共感。《向左走，向右走》構圖簡潔巧妙，藍灰調描繪出了孤獨、憂鬱的形狀。故事中的一男一女住在同一棟舊公寓大樓裡，互為鄰居。每次出門，她總是習慣性地先向左走，他總是習慣性地先向右走，他們始終不曾相遇。但有天，他們在公園的噴水池相遇了。他們如失散多年的戀人，度過了一個快樂、甜蜜的下午。
  • 《向左走向右走》品冠邂逅許茹芸 李心潔阿牛送祝福
    但每次出門，她習慣向左走，他向右走。但是有一天他們竟然相遇並一見鍾情，突然一場大雨將兩人拆散，兩人又開始了漫長的愛情等待。劇中除了實力唱將許茹芸和品冠擔當男女主演，在金鐘獎編劇傅天餘的筆下，娃娃魏如萱將扮演一個極富喜劇天賦的咖啡館女孩。
  • 想要遇見的人,終會遇見 幾米《向左走向右走》音樂劇福利
    他們每天出門時一個習慣向左走、一個習慣向右走，於是一直錯過，不曾謀面。終於有一天，他們在公園遇見彼此並一見鍾情，但突如其來的一場大雨卻打散了兩人。男孩和女孩重新走回一個人孤寂的生活，苦苦尋找對方，卻始終不知道他們之間僅僅只隔了一堵牆……
  • 向左走向右走,<遇見>宜蘭幾米廣場
    再則當時孫燕姿演唱的向左走向右走則是讓我愛上幾米說故事能力的一部電影，直到現在仍然很喜歡最後一句：「我排著隊拿著愛的號碼牌」，雖然那首歌其實好像應該叫「遇見」。雖然我談不上是幾米插畫的迷，可能也談不上有多喜歡，但它的插畫的確會有一種令人想一探究竟的魔力。早前說過了不是幾米的畫迷，所以對這小公園裡充滿著旅行包有一點不解，代表的是旅行嗎？
  • 【好久不見】幾米音樂劇《向左走向右走》再次來襲(內含福利)
    故事描述一個寂寞的城市，一對比鄰而居卻從不相識的寂寞男女，因為她出門一定向左走、而他卻總是向右走…有一天他們終於相遇並一見鍾情，但一場大雨讓兩人匆促分手
  • 向左走向右走,抖音內容方向,苟且還是遠方
    想要脫穎而出，首先，你要把這件事情考慮明白，就是向左走還是向右走。無論怎麼做內容呢，分為兩個方向，是向左走還是向右走？所謂右派，就是做泛娛樂化。左派呢，就是做深度垂直。這兩種內容方向，是沒有交集的，甚至連平行線都算不上，一個向左，一個向右，一個左派一個右派，一個保守，一個激進，兩者你走你的陽光道，我走我的獨木橋，進水不犯河水，各走各的道。也沒有誰對誰錯，只是方法論的分歧。但是，如果你選擇了向右走，你似乎走了一條捷徑，一開始你會走得很順。但是後來越走越難，很痛苦，很壓抑。