【提問】
以角度為自變量可以建立三角函數嗎？有人說不行，因為以角度為元素的集合不是數集。又有人說，角度帶有單位，應該是常量，不是實數。請教王老師，該如何解釋？
【回復】
所謂角度，一般指用度分秒制表示角的大小。
1°表示一個大小是周角的360分之一的角，當然不是實數。
但是，把1°中的數值1單獨抽出來說，這個1是實數。
任意給定一個角α（正角、負角或零角），總可以用度分秒制的度數表示它的大小，這個α角的大小就是n度，再把其中的n單獨抽出來看，n是一個實數（這個過程實際上與用弧度制表示角時把弧度二字省略是一樣的）。反之，任意給定一個實數n，我們總可以找到一個角α使其度數為n。於是角n的集合與實數集R建立了一一對應的關係。
因此，我們能以角度n為自變量建立正弦函數等三角函數。
必須即刻指出的是，以角度為自變量的函數，它給我們帶來的麻煩不僅是難以勝數而且是無處不在的，而弧度制處處顯示它的優越性。
首先是換算。度分秒制裡的數，並用著十進位和六十進位。例如角α＝136°47′21"，其中136、47、21都是十進位，而度、分、秒之間是六十進位。於是，為了找出與角α對應的實數n，通常是比較麻煩的。
其次是運算。例如弧度制下π/3+1=(π+3)/3，暢通無阻。而60°+1怎麼加？難道是60+1＝61（度）嗎？多麼尷尬！
更重要的是運用。比如，弧長公式用弧度制是l=αr，而角度制則是l=nπr/180，麻煩不少.
又如求導公式，在弧度制下的求導公式，如用角度制，則統統要改寫，比如自然對數的導數，在弧度制下非常漂亮，用角度制呢，則自找麻煩！
再如求定積分，∫(0°-45°)sinxdx=cosx|(0°-45°)=cos45°-cos0°=(√2/2)-1，別彆扭扭。
總之，用角度制非不行也，乃不便也，故不必也。
【PS】
️有人說「其實角度制的數字是帶量綱的，弧度制的數字是不帶量綱的，弧度制下的三角函數問題已經抽象為純粹的數學問題，有更為廣泛的應用。」
我的看法是，角度通常認為它是無量綱的量(與長度不同)。如果硬是說它有量綱，那麼它量綱為1。量綱說到底是物理上的概念。其理論還有點複雜。不必深究。何況回答上述問題，完全不必扯出量綱來。
️有人說「度分秒制表示的角是有理數，不能與實數集一一對應。而弧度制能，所以用弧度制。」
我的看法是：從理論上講，度數為無理數的角是存在的，如同弧度制裡有無理數的角一樣，其大小可用有理數去逼近。例如根3度的角，雖然我們不能精確地畫出來，可是它是客觀存在的。可見，這個不能成為三角函數用弧度制的角作為自變量的理由。
️有人說「這個問題教材已經講得很清楚了，建議大家認真閱讀下教材，以角為自變量可以通過弧度數與實數一一對應，自然符合函數的定義呀。」
我的回答是：你說的教材講清楚了，是講為什麼可以用弧底制定義三角函數，而教材中沒講為什麼不用角度制去定義三角函數。
再者，教材裡是把該講的問題講清楚了的，卻不可能包羅萬象，把一切可能疑問的問題都講清楚。比如，為什麼不用角度制去定義三角函數。第一，教材不必要講（因為是學生用的教材），也不好講（涉及更多東西）。這些，就是我們教師教研時可以討論的問題。
️有人問「函數作圖，對X軸與y軸單位是要求一致嗎？角度制下能畫出三角函數的圖像嗎？」
我的回答是：函數圖像要求橫軸和縱軸的單位必須一致。否則會使得圖像「失真」。但是，作為實際應用題的函數的圖像，橫軸與縱軸的單位允許不一致，以需要與可能為準。
另外，在角度制下，三角函數的圖像是可以畫出的。不過，要事先作種種的約定。這無疑是件令人生厭的事情。比如說，表示1度的實數1，在橫軸上畫一個單位長，90度的正弦值等於1，這個1在縱軸上同樣畫一個單位長，那麼，這樣畫出來的「正弦波」相當地扁平，比起弧度制下的正弦波來它醜陋不堪，讓人難以接受。不僅如此，如果作其它的約定，也可以畫出圖像來。從而引起無謂的爭論。因此，從畫圖這一點來說，也是人們摒棄角度制而堅定不移採用弧度制來定義三角函數的理由之一。
️又有網友這樣說：「上述這個問題，似在嘴邊，而幾乎沒有想到。明白了這個道理，繼續學習三角，積極性提高了。」筆者完全贊同這個說法。
2018-11-27
註：本文已收錄到《大罕數學教學隨筆》書稿中。
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