隱藏在電影背後的神秘力量,竟然是 ta!!!

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拿好你的爆米花，挑個好座位，舒舒服服地坐好，好戲要開始了……

我們都驚嘆於電影中計算機生成的難以置信的逼真圖像。但是大多數人沒有意識到的是：《侏羅紀公園》的恐龍和《指環王》（尤其是其中古魯姆的出場）的神奇畫面，如果沒有數學，就不可能出現。但是這些驚人的圖像是如何製作的？計算機圖形學和計算機視覺是一門龐大的學科，在這篇文章中，我們將簡單地看一下得到電影成品所需要的一些數學知識。首先，我們將創造電影中所看到的世界，然後把它變成現實。

以猴子模型為例，其表面的建模是由簡單多邊形（如三角形）組成的線骨架。

用電腦製作電影的第一步是創造故事中的人物和他們生活的世界。這裡的每一個對象都需要建模，模型的曲面是由連接的多邊形（通常是三角形）組成的，三角形的頂點存儲在計算機中。根據三角形判斷曲面的內外面是很重要的。模型的這些信息按照頂點存儲的順序進行編碼，可以根據右手螺旋法則判斷其順序：右手的手指按照頂點給定的順序繞三角形捲曲，你的大拇指會落在三角形的一邊——那一邊就是外面。如果你用下面這個例子來嘗試，你會發現三角形（A，B，C）的向外方向（稱為向外法線）與（A，C，B）的方向相反。

用右手螺旋法則可以發現：（A，B，C）的外法線與（A，C，B）的方向相反

現在，物體表面是一個由三角形組成的絲網，之後可以準備給它的每個部件上色了。這部分需要真實地捕捉模型所在場景的燈光，這是通過一個稱為光線追蹤的過程來完成的。從我們的視角出發，將光線反向傳播到物體上，再經由物體反射，如果光線與一個光源相交的話，此部分就用明亮的顏色來塗染，使這部分看起來明亮。如果反射的光線沒有與光源相交，則用較暗的顏色來刻畫這部分曲面。

從你的視點追蹤光線到一個面，它是否反射並與光源相交？

要將光線追溯到一個特定的面，我們需要用數學來描述曲面，並求解包含光線和由該面描述的平面的幾何方程，這一步可以通過向量來完成。將場景放到三維坐標系中，我們的視角在原點向量 。我們可以把三條信息表示：其中一個頂點（不妨稱之為頂點 向量、從 向量。下面的方框給出了從我們的眼睛開始的光線方程和由一個三角面給出的平面方程。為了找出光線與平面是否相交、在哪裡相交，以及計算反射光線的方程，我們需要求解包含這兩個表達式的方程。

光線方程，其中

由頂點

（具體的求解過程這裡不再詳細展開，感興趣的可以戳→這。）光線追蹤可以生成逼真的場景，但速度非常慢。當然，這對於計算機來說是可以接受的，但是當你需要實時改變燈光時，比如在電腦遊戲光的改變，這個問題就變得複雜起來了。複雜一點的現象，如陰影、焦散和多次反射很難動態建模，這裡要用到更複雜的數學方法，例如預計算輻射傳輸（ precomputed radiance transfer，PRT）和輻射度算法（Radiosity）。

像《毀滅戰士3》和《無冬之夜》這樣的電腦遊戲就需要動態光線一旦場景設置好，燈光打好，我們只需要等導演大喊「Action！」，角色就可以動起來了。現在我們來看看數學是怎麼讓這些圖像活靈活現的。
一個物體能做的最基本的運動之一就是繞著一個給定的軸，旋轉一定的角度。坐標幾何為我們提供了許多求解物體旋轉後每個點的位置的工具，但重要的是這些方法的效率和速度。為了了解這些方法，讓我們從基礎開始講起。我們知道 為了求解負數的平方根，數學家引入了新的數字，叫做 因此 複數有著 1806年，業餘數學家讓·羅貝爾·阿爾岡給出了複數和 。阿爾岡將複數與平面上的點關聯起來，實數

阿爾岡意識到複數的乘法有一個幾何描述：旋轉。讓我們看看如果我們用 乘以 是（逆時針）旋轉90度的指令！事實上，任何旋轉，不僅僅是90度旋轉，都可以用複數相乘來實現。數學家威廉·盧雲·哈密頓爵士也許是都柏林三一學院最著名的畢業生。他一生的最後二十年致力於尋找一種表示三維旋轉的方法，這種方法類似於複數可以表示二維的旋轉。

布倫橋上的紀念牌匾，哈密頓爵士正是在這座橋下散步時發現了四元數在他生命的最後，哈密頓發現了答案，一種他稱之為四元數的形式。類比複數的操作，我們可以用幾何來描述四元數並用它們來表示旋轉。但這次不是二維空間的旋轉，而是三維空間的旋轉。為此，

假設我們希望將點所以就像複數可以用來描述平面上的旋轉，四元數也可以用來描述三維空間中的旋轉。
哈密頓在都柏林的橋上想出來的才華橫溢的想法，雖然被證明是旋轉三維物體的最有效方法，並沒有得到所有人的認可。開爾文勳爵、物理學家威廉·湯姆森在談到四元數時說：「……雖然這個方法精巧絕倫，但對那些真正用到他們的人來說，可以說是『一種不折不扣的邪惡』！」尤其讓人擔心的是，當你把兩個四元數相乘時，相乘的順序會影響到答案，它們具有「非交換性」的性質。例如，從哈密頓的乘法規則可以看出 現在許多的圖形應用程式圖像的移動都用到了哈密頓的發明。計算機圖形學中最重要的兩個工具是變形和插值。插值和關鍵幀技術涉及到指定對象的初始和結束形狀和位置，並讓計算機計算出中間的階段，如下圖所示。

這是一個最基礎的蛇的動畫（由Richard Wareham創建），其中整條蛇是由計算機通過幾個指定點的移動插值來創建的。變形是從簡單對象創建複雜對象的一種方法，可以通過數學處理普通球體的場景來得出下面這樣的布料落在變形球體的場景。變形和插值都需要快速和穩定的數學技術，而四元數相關的方法正好提供了這些技術。

一塊布落在圓球上可以用物理定律來模擬

然後操縱一塊布掉到一個變形的球體上。

以上所述的技術是經典動畫必不可少的工具，其對於創建動畫人物的效果也是很令人滿意的。但是，當我們用它來製作涉及到人類的動畫時，我們可以立刻發現它的不真實性。要創建逼真的運動，運動捕捉是必要的。很多角色，比如電影版《指環王》中的古魯姆，都是用動作捕捉來塑造的。這是通過在真實的人身上的關鍵點（頭、肩、肘、膝等）安裝傳感器來實現的。

多個鏡頭對個體進行拍攝，傳感器將位置變化存儲在計算機上。將骨架擬合到三維數據中，然後將以上所述的所有信息都被當做是細節放到骨架上，從而創造出一個活生生的、呼吸的、移動的角色。

從附在身體不同部位的傳感器上獲得數據，並在數學上對數據進行了骨架動作擬合。如果你堅持看完過整個電影演職員表，你會發現，一部成功的電影需要各種各樣的創造性才能：作家、導演、演員、服裝設計師、道具設計師等等。但是有一個名字經常會被忽略掉——數學。如果沒有光線追蹤的幾何學或者四元數在三維空間的旋轉，今天的許多電影都是不可能實現的。所以下次當你坐在電影院的座位上欣賞CG（計算機圖形學）產生的奇觀的時候，可以為這個節目的隱藏明星——數學，鼓掌。

作者：Joan Lasenby

翻譯：Nuor

審校：Dannis

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編輯：aki

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