莊老師贈送我的教具中有一個魔術手環，也稱為流體手環，可以套在手臂上在重力作用下，沿著手臂滾動，可以起到按摩和促進血液流通的效果，其運動狀態像極了「流動」，大概是這個原因稱為流動手環吧。
圖片來源於網絡
仔細觀察，魔術手環是由一根不鏽鋼鋼片纏繞而成（整個剛片只有一個接頭），有兩個穩定狀態，如下圖纏繞成一個環狀，我們稱之為「一狀態」，從該狀態可以看出，鋼片纏繞不是平行纏繞，而是穿越纏繞，即從外徑出來的鋼片要從內徑中穿過，再從外面繞回，再從內徑穿入。
給鋼環一個擾動（比如拍一下）後就可以變成下圖展開的狀態，我們稱之為「二狀態」。
圖片來源於網絡
如果將手環做成彩色，並將多個手環放在一起表演，通過桌子的振動，可以多個手環一起變形，場面震撼。
視頻來源：莊表中教授
從力學角度來看，該手環有兩個穩定狀態，即我們前面所說的「一狀態」和「二狀態」。為了解釋手環的變形就必須對穩定性有一個認識，為此，我們首先通過下圖所示重力場中的小球來說明穩定性的基本概念。如圖(a) 所示，位於凹面小球是一種穩定狀態，因為當其偏離靜止位置時，在重力作用小球會回到原來的靜止位置；圖(b) 是表面為水平的情況，其穩定性是中性的，小球偏離原始位置時，仍在水平面上，但一般不會回到原來的靜止位置；圖(c) 位於凸面的小球處於不穩定狀態，對其靜止位置的任何微小偏離都會使球繼續偏離，遠離原靜止位置；圖(d) 表示穩定與否取決於擾動強度，小球對於小擾動穩定，對於大擾動不穩定，這種情況稱為條件穩定。
圖片來源於 ：「風動石」的奇妙力學穩定性
http://lxyd.imech.ac.cn/info/detail.asp?infono=18402
小球的穩定性在力學上還可以利用勢能函數來解釋，以小球位置為自變量，以小球所具有的勢能為函數，寫出小球位置與小球所具有勢能之間的關係：對於圖(a)的情況，小球勢能隨位置的變化關係近似為開口向上的拋物線，勢能函數存在極小值；對於圖(b)，函數為常數，因此極小值不固定，其穩定位置也就不固定；對於圖(c)，勢能函數有極大值，沒有極小值，因此小球不穩定；對於圖(d)，有兩個極大值、一個極小值，當擾動使得勢能超過了極大值，將變的不穩定。
將勢能函數的取值與小球穩定性的描述相對應，就可以得出一個結論：當小球勢能取得極小值時，小球處於穩定狀態。即只有當系統中的勢能取極小值（局部最小或全局最小）時，系統才是穩定的，否則系統必將向可以取得最小勢能的方向變化。這可以被看做是最小作用量原理（請參見淺說最小作用量原理）的一個特例，稱為最小勢能原理。最小勢能原理是力學中非常重要的原理之一，不僅對於剛體系統，對於變形體系統同樣適用，常用的有限元理論就是以最小勢能原理（以變形勢能為函數）為基礎的。
對於魔術手環所使用的鋼片，在纏繞過程中就需要考慮其變形後所儲存的彈性勢能（就像彈簧變形後所儲存的勢能）。我們以手環的形狀（形態）為橫坐標，以彈性勢能為縱坐標，畫出彈性勢能和手環形狀之間的示意圖如下圖所示，它的「一狀態」就是一個相對容易跨越出穩定區域（屬於上圖(d)中的條件穩定），向另一個穩定狀態，即「二狀態」發展。「二狀態」因為比「一狀態」具有更小的勢能，因此「二狀態」更加穩定。
圖1 手環勢能函數隨手環狀態的變化示意圖
在玩耍中，經常使手環展開、收縮、再展開，再收縮，就形成了手環在「一狀態」和「二狀態」之間的循環，如下圖所示，1表示手環在「二狀態」，2，3表示為對「二狀態」的擾動，4最後變為「一狀態」。「一狀態」再被擾動成為「二狀態」循環發生。
圖片來源於網絡
手環的變形的勢能函數要比小球的勢能函數複雜的多，因為手環勢能函數是以手環的形狀為自變量的，這個形狀本身就需要以函數形式來描述，因此手環勢能函數可以被看做是形狀函數的函數，這種自變量本身也是函數的函數被稱為泛函，泛函取極值問題就成了力學中最小勢能原理重要數學工具。
手環之所以能在手臂上「流動」，依賴於手環所存儲的彈性勢能和重力勢能的共同作用。當人在「一狀態」（收縮狀態）把手環套在手臂上展開為「二狀態」，由於手臂的阻止，其勢能釋放不完全，不能到達「二狀態」的最低點（請結合圖1），而是介於「一狀態」和「二狀態」之間的中間某點，為了維持這個狀態，就需要手臂對其施加作用，反過來說，手環也對手臂施加了作用力。
當手臂垂下或者豎起時，手環就有向下的運動趨勢，再和手環的彈性勢能相互轉換就形成了在手臂上「流動」的效果，同時手環對手臂的壓迫作用（力度適當），就如同給手臂施加了一個均勻變化的按摩，從左手到右手、從手腕到肩胛。說魔術手環可以起到緩解壓力、增加血液循環，大概原理就在於此。
請點擊視頻觀看魔術手環的表演，來源於網絡
感謝莊老師對我的幫助和指導，向莊老師致敬！