高考必考內容乾貨,函數基本知識點穿線大全,仔細閱讀絕對是飛躍

01概述

函數是高考必出的內容，要學好函數這塊的知識離不來基礎的知識點。

很多同學在做題時模稜兩可，往往都是因為對函數的性質沒有真正的理解到位。

今天就給大家從集合開始將函數這模塊的知識點詳細的說明。

認真閱讀，真正理解我講的內容，在函數這模塊對你來說絕對是飛躍。

02集合

研究集合的目的：研究集合的目的在於先研究函數的定義域和值域。因為函數的定義域和值域都是集合，集合有什麼的性質，函數的定義域和值域都有。

集合的判斷：

判斷是不是集合，只需要記住這三點：確定性、互異性、無序性。

互異性和無序性比較好理解，即給出的集合當中的元素沒有相同的元素，一個集合中各個元素的沒有順序，怎麼排都可以。

主要是確定性，確定性就是給出的集合中的元素一點是明確的。

例如：｛x|x>7｝是不是集合？答案是肯定的，因為我任意拿出一個數，這個數在不在該集合當中非常明確。

｛高一三班個高的同學｝是不是集合？答案不是，因為我們沒有界定過多高是高個，所以拿出一個同學是高是矮無法確定。

集合的運算：

交集需要注意的是交集定義中的「且」字，往往在做題求解集時，如果該話中可以用「且」連接，都是要取交集的。

交集運算中只需要記住這幾個韋恩圖就可以無誤的計算。

圖一

併集需要注意的是「或」，或字代表在集合A中和集合B中哪個集合都行，所以範圍就是兩個集合的併集。

併集的運算也是需要注意下面的韋恩圖即可。

圖二

補集一般會給出全集U，在全集U中給出部分集合A，讓你求該集合A的補集，只要該全集U除去該集合A剩下的就是該集合的補集。

03函數定義

其實還是有很多同學對函數的定義不是特別的理解。

其實函數就是集合A中的任意元素以某種對應關係f得到在集合B中唯一確定的值，則f就叫做函數，A叫做定義域，B叫值域。

用圖形表示：

圖三

需要注意：集合A和B不能是空集。否則沒有研究的意義。

函數可以是解析式的形式、也可以是表格的形式、也可以是圖像的形式。

注意：函數關係式f不僅僅是解析式，還可以是表格和圖像。

04函數的性質

為什麼要研究函數的性質？

對於一般簡單的函數，例如，y=x^2，y=kx+b等等，我們很容易知道它們的圖形，但是對於一個複雜函數來說，要想得到該函數的圖形就要通過函數的性質來獲得。

在大千世界中，很多事物都是各種各樣的曲線構成而不是那些簡單的函數。

例如，函數y=x^3+sinx，它的函數圖形大致什麼樣，與x軸有幾個交點等等，想知道這些都離不開這個函數圖形，想要研究該函數需要藉助函數的性質。

函數的性質：單調性、奇偶性、最大值和最小值、極大值和極小值、是否過定點、極限、凸凹性。

詳細可見函數的基本性質知識點的總結——期末必考的內容

05基本初等函數

為什麼要研究基本初等函數？

這些基本初等函數是所有函數組成部分，相當於組成我們身體中的元素。

例如，函數y=㏒(3x+1)(以2為底)的圖像是什麼？就可以從基本初等函數中去獲得。

即函數y=㏒(3x+1)(以2為底)是在函數y=㏒x(以2為底)基礎上來獲得。

因為函數y=㏒x(以2為底)趨近y軸，但是不會與y軸相交，則令3x+1=0，x=－1/3，則函數y=㏒(3x+1)(以2為底)趨近x=－1/3，但不會與x=－1/3相交。

如圖：

圖四

基本初等函數：指數函數、對數函數、正弦函數、餘弦函數、冪函數。

在研究上述所有函數的時候，一般都是藉助列表格，描點法來做出圖像，然後觀察圖像，從函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、最大值和最小值、極值等等來研究函數。

其實上述研究函數的方法和過程就是我們要就任意函數的方法。

在高考中一般都是給一個你沒見過的函數。

一般都是：問該函數與x軸交點個數？問該函數大於哪個值時的取值範圍？等等。

這些都是要先研究函數，知道函數上述的性質，即定義域、值域、單調性、奇偶性、最大值和最小值、極值等等後，對該題就一目了然了。

指數函數的圖像和性質：

指數函數圖像：

圖五

性質：指數函數底數互為倒數時，這兩個指數函數關於y軸對稱，定義域都數屬於R。

底數大小關係以圖像y軸右側為準，即底數越大圖像越高，具體看圖六。

圖六

在就是指數冪的運算，課本上的即可。

指數之間比較大小：詳細可見指數函數底數在不同情況下比較大小關係的匯總

對數函數圖像和性質：

對數函數圖像：

圖七

性質：對數函數底數互為倒數時，則這兩個函數關於x軸對稱，定義域為(0,+∞).

底數大小關係以x軸上半部為準，即靠在最右邊的對數的底數大，具體看圖八。

圖八

對數和指數函數的轉化：記住㏒x=N(以a為底)，寫成指數形式就是a^N=x。

對數的運算記住書中給出的公式即可。

對數之間的比較大小：詳細可見詳細講解「不同底數，判斷兩個對數的大小關係的問題」

冪函數的圖形和性質：

冪函數主要掌握y=x，y=x^2，y=^3，y=√x=x^(1/2)，y=1/x=x^(－1)這些函數的圖形和性質即可。

冪函數圖像：

圖九

冪函數性質：

需要注意：雖然函數y=1/x在（-∞，0）上和（0，+∞）都是減函數，但是它們在R上並不連續，所以要分開說明，保證函數嚴格的單調性。

正弦函數圖像和性質：

正弦函數圖像：

圖十

正弦函數性質：

五點法作圖：記住區間[0,2π]上的關鍵五點(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,－1),(2π,0)。

單增區間：[－π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)；

單減區間：[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]（k∈Z）.

餘弦函數圖像和性質：

餘弦函數圖像：

圖十一

餘弦函數的性質：

五點法作圖：記住區間[0,2π]上的關鍵五點(0,1),(π/2,0),(π,－1),(3π/2,0),(2π,1).

單調增區間：[－π+2kπ,2kπ](k∈Z)；

單調減區間：[2kπ,π+2kπ](k∈Z)。

正弦函數與餘弦函數共有性質：

函數周期：T=2π+2kπ,k∈Z。

圖像伸縮變換：

函數y=Asin（ωx+φ）+k(A>0,ω>0)中，參數A的變化引起圖像中振幅的變化，即縱向伸縮變化；ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；φ的變化引起左右平移變換；k的變化引起上下平移變換。

圖像平移遵循的規律為「左加右減，上加下減」。

對於給出的任何正弦和餘弦函數都是可以令ωx+φ等於上述對應的五點，得出相應的x值與y值做出圖像，然後再向兩邊不斷延伸，得到新的正弦或者餘弦函數圖像。

對於求任何正弦函數和餘弦函數的增減區間，都是令ωx+φ在對應的增區間或者減區間求出x的範圍。

06總結

學習集合——為了研究函數的定義域和值域；

學習函數性質——研究函數圖形，認識圖像的有利工具；

學習初等函數以及性質——研究所有函數的基礎。

相關文章：

冪函數是奇函數嗎？是增函數嗎？所有冪函數具有的性質都在這！

高中所學的導數公式大全研究函數單調性的另一種方法