初中數學中，我們已經知道二次函數在中考中的重要性，而且二次函數與一元二次方程的關係，也是考試中必須掌握的，因為與一元二次方程的關係，就涉及到與坐標軸交點的問題，以及根的相關情況。今天和同學們一起學習二次函數與一元二次方程的關係，希望同學們能夠明確研討方向，掌握求解方法。
函數y=ax^2+bx+c(a≠0)，當y=0時，得到一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)，那麼一元二次方程的解就是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標。因此，二次函數圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程的根的情況。二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)與x軸的交點情況有三種：有兩個交點，有一個交點，沒有交點，它們分別對應著一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的三種情況。
通過上面的表格，我們就可以非常清楚的看到，二次函數與一元二次方程的關係就是研討二次函數圖像與x軸的交點問題，常通過研究一元二次方程的根的問題來解決；反過來，一元二次方程的根的問題，又常用二次函數的圖像來解決。
那麼如何判斷二次函數的圖像與x軸交點的情況，也會考試中經常會考到的方向，對於二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)求解的基本方法是：(1)b-4ac>0拋物線與x軸有兩個交點；(2)b-4ac=0拋物線與x軸有唯一一個交點（頂點在x軸上）;(3)b-4ac<0拋物線與x軸沒有交點。
設對應一元二次方程ax^2+bx+c=0兩實數根為x1,x2，(1)當≥0，且x1x2>0時兩根同號。①當≥0,且x1x2>0,x1+x2>0時兩根同為正數。②當≥0,且x1x2>0,x1+x2<0時兩根同為負數。(2)當>0,且x1x2<0時兩根異號；①當>0,且x1x2<0,x1+x2>0時，兩根異號且正根的絕對值較大；②當>0,且x1x2<0,x1+x2<0時，兩根異號且負根的絕對值較大。
例題1：已知二次函數y=-x^2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關於x的一元二次方程-x^2+2x+m=0的根為？
解析：本題考查二次函數與一元二次方程的關係，從圖示中可以看出，只需要將x=3,y=0，代入函數解析式就可解出m.
例題2：下列關於二次函數y=ax^2-2ax+1(a>1)的圖象與x軸交點的判斷，正確的是（).
A.沒有交點 B.只有一個交點，且它位於y軸右側 C.有兩個交點，且它們均位於y軸左側
D.有兩個交點，且它們均位於y軸右側
解析：要判斷二次函數y=ax^2-2ax+1(a>1)的圖象與x軸交點的問題就是要判斷對應一元二次方程ax^2-2ax+1=0(a>0)有沒有實數根的問題。即是判斷判別式的值的正負情況，要進一步判斷二次函數的圖像與x軸交點在y軸右側或左側，即是進一步判斷一元二次方程兩實根的正、負情況。最終得到正確答案是D。
希望同學們自行領會二次函數與y軸交點的情況，掌握此類題目的解題思路，學會解題方法，掌握二次函數與一元二次函數的關係。