「畫數學」意在讓學生的思維過程由內隱到外化，藉助思維可視化發展學生高階思維，從知識建構、解題分析和學習體驗的角度畫出數學的思維軌跡。
畫圖能使抽象的語言信息變得形象生動，這一形式是思維外顯的腳手架。然而，現有教材在培養學生畫圖能力方面存在斷層現象，如線段圖在中、低年級並未紮實教學，六年級卻要作為難題解答的主要支架，導致學生無法駕馭，而且已有的畫圖教學基本是「教師講解」的手段，而不是學生學習的方法。
基於這樣的背景，從2012年開始，我們開展了「畫數學」教學的研究與實踐，著力於破解以下問題：
思考如何從「我會畫」的視角強化教材已有畫圖內容的教學？如何尋找數學思維發展的生長點，探索畫圖教學斷層填補的有效方法與策略？
如何有效訓練學生的畫圖技能，讓學生的數學思維看得見，進而在大腦中形成「畫像」，達到「腳手架收放自如」甚至「不需要畫」的程度，促進學生數學核心能力的發展？
如何通過全程化、系列化的小學「畫數學」課堂教學設計，豐富數學教學的內容與形式，推進數學畫圖教學的變革？
掃描斷層，探尋學生「畫力」的生長點
人教版教材呈現了大量示意圖，意在藉助直觀幫助學生習得新知，對比「畫數學」的畫圖能力目標，人教版各年級教材內容在圖示編排和利用上出現了斷層。以線段圖為例，線段圖作為分析數量關係的重要載體，發現有兩大問題：一是圖示基本用來當作教師分析題意的抓手，在課堂上「出現」過，並沒有後續課時讓每個學生嘗試並學會繪製；二是縱使「出現」也是薄弱的散點，如五年級兩個學期就沒有出現過線段圖，畫圖能力的培養沒有形成一條線展開進階式練習。
因此，通過對各年級「畫力」的斷層掃描，分析存在的問題，並尋找填補與生長的策略，這是建構「畫數學」新課堂的基點。
在實踐中我們探索應用了以下策略：
一是運用「補點成線」的層級式填補策略，畫出「解題分析」。通過掃描「畫力」斷層，抓住畫圖能力培養的幾條主線，進行「補點成線」。僅以線段圖為例，就能發現不少斷層需要填補（見圖）。
二是運用「畫圖成鏈」的支架式填補策略，畫出「知識建構」。在教學中藉助知識樹、概念圖、思維導圖，可以幫助學生把零散的知識有層次、有條理地連結在一起，從而提升學生的思維品質，達到自主學習、獲得可持續發展的教學目的。但是，教材欠缺這方面的內容設計，需要填補。
在知識建構方面，各年級「畫力」斷層與生長的填補點分析如下：一二年級沒有知識整理的圖示，低年級學生需要有所感知，在完成單元學習的時候，需要學畫知識樹的作業；三四年級缺少複習整理的圖示學習，缺少概念分析整理體現進階的圖示學習，需要補學簡單的概念圖，簡單的思維導圖及作業；五六年級缺少單元複習、知識塊複習整理的圖式學習，需要繼續補學概念圖、思維導圖及作業。
三是運用「以畫入境」的具身式填補策略，畫出「學習體驗」。引導學生創作數學繪本，是以更柔和、更多元的方式呈現數學，尋找數學與學生實際經歷的重合點。創作數學繪本可以從簡單的數學四格漫畫、數學連環畫起步，掌握基本的以故事情境表達數學知識的方法。
進階剖析，分解「畫數學」的操作要點
在「畫數學」教學中，必須根據年級差異進行操作指導：
一年級重點是畫出原生態。如畫出數學故事場景，理解特定符號意義所在。通過創設問題，讓學生從表達生活故事起步。比如，在回答「我們學過的解決問題中，哪些可以用加法計算，哪些可以用減法計算」這一問題時，無論是畫出簡單的關係，表徵「兩部分合起來」或「總數裡面去掉一部分」，還是畫出問題的基本結構，從信息和問題的角度用上大括號、問號表示兩個數學信息和一個數學問題，或者是較為老練地畫出圖文結合故事，都有一個從模仿到得心應手的過程。
到了二年級則要畫出辨析味。二年級學生會在「求比一個數多（少）幾的數的問題」中見到類線段圖——直條圖。這類題的出錯率較高，甚至到了高年級仍有學生會被「略有變化的表述方式」困擾，所以在起始階段學會畫圖分析就顯得極為重要。而辨析則是二年級學生學會畫圖、提升畫力並發展思維的重要手段。
三四年級重點畫好線段圖。線段圖從三年級開始呈現，成為學生後續解題的重要支架。在學「畫」線段圖之前，學生首先要學會「看」線段圖。一幅完整的線段圖包括信息、數量關係和問題，除此之外，還要讓學生知道線段圖通過線段的長短來表徵數量之間的關係。
到了五六年級要求學生畫出建構力。五六年級學生已經具備一定的推理能力和建構能力，面對問題鼓勵學生選擇與設計合理的圖示幫助解題。
著眼素養，優化「畫數學」的教學設計
教師要具備「畫數學」的技能，只有在「畫圖」中才能學會畫圖。在簡單的問題中學會「畫圖」，將來才能用「畫圖」來解決較為複雜的問題，「畫圖」才會成為一種解決問題的方法與策略。
瞄準思維品質，進行「畫數學」教學的問題探究設計。高階思維的一大特點是能反省外顯化，要評估思維能力，需要一直介入思維，以思維質量標準為參考來考查思維。就數學思維而言，需要關注思維的清晰性、準確性、關聯性以及深度、廣度和邏輯性。
我們在設計中特別注意以下要素：具體化，畫出思維的「清晰性」；重細節，畫出思維的「準確性」；重推導，畫出思維的「邏輯性」；思聯繫，畫出思維的「廣度」；破難點，畫出思維的「深度」等。
比如學完工程問題，可以設計這樣的問題：工程問題難在哪裡？解決工程問題的關鍵是什麼？請舉例說明，畫圖分析。
學生從已知「路長20米」有具體數據的工作總量入手，用舊知解決工程問題→自己假設工作總量為「1」解決問題→對比溝通，用線段圖將假設「1」解決的分數問題與原來的整數問題進行方法上的溝通並驗證，歸納出解決工程問題的關鍵方法→拓展到更難的問題，變形題，分步解決。
呈現這樣的思考過程，學生思維的深度可見一斑。在教學中，要多問「難點」在哪裡？解答的「關鍵」是什麼？
強化技能訓練，形成「畫數學」教學的具體方法設計。「畫數學」教學的根本目標是提升學生的思維品質，發展學生的數學核心能力。以七大數學核心能力為出發點，進行具體方法的設計、訓練技能，是「畫數學」教學的重要內容。實踐中我們通過以下舉措進行設計：一是塗塗畫畫，培養數感和符號意識；二是圈圈連連，突破難點，形成運算力；三是藉助草圖，形成表象，發展空間觀念；四是「線」「條」變化，增強數據分析能力；五是畫思結合，發現規律，提升推理能力；六是圖式歸納，解剖問題，發展模型意識。
從「畫數學」到「數學化」，目的是更好地讓兒童形成符號意識，促進其數學思考，使他們學會數學建模，完善知識結構，從「具象——表象——抽象」的過程中創造世界。
雙線並進，「畫數學」教學的實施路徑
「畫數學」教學的實施有兩條路徑：課堂教學與課後作業。從教材已有內容的授課到原創填補的練習、複習整合課，再到畫圖作業，落腳點非常明確。新授課重在直觀感知，分析理解；整合課重在填補斷層，整合練習課和複習課時間發展畫力；畫圖作業是學生獨立畫圖表達思考的結果呈現，既助力技能鞏固，也促進學法提升。
有畫圖能力發展點的教材新授課，可以從新授課例題示意圖的呈現方式和功能出發，基於「畫圖」視角重新設計，改進教法，藉助思維可視化發展思維能力。課題組積極開發原創填補課，關注畫力「斷層」補充畫圖素材，設計發展畫力的原創課例，利用和整合練習課、複習課進行教學，提升「畫」的技能，發展思維。如作圖技能類，強化作圖的規範性和創造性。此外，還關注畫圖作業，以作業為載體鞏固畫圖技能，展現思考過程，有畫圖分析作業，讓思考過程可視化；有畫圖說題作業，讓畫圖分析方法共享化；有畫圖繪本作業，讓思維個性表達平臺化。
「畫數學」使兒童長期積累下積極的情感體驗，對數學所承載的意義也有更豐富多元的理解，同時，學生通過訓練養成了善於運用圖形來表徵數學問題的良好習慣。之前，學生一旦遇到不會解答的問題，往往就會自動「舉手投降」；現在，學生即使碰到「攔路虎」，也會不自覺地嘗試用「畫」來解決。
通過系統的「畫數學」訓練，還讓學生掌握了「學習策略」這種程序性知識。如通過「畫數據」解讀隱含的有用信息，通過「畫推理」提供清晰的思維路徑，通過「畫對比」辨析直觀的通聯差異，通過「畫驗證」培養可視的逆向思維等，最終形成「畫像」，達到「不需要畫」的境界。
從8年前的試點研究，到今天面向區域內外的立體式推廣，研究從課堂走向作業——以作業變革推動學習方式變革的經驗，正在不斷推廣到其他學科，有效推動了畫圖教學的變革，課題的學術影響力也在不斷擴大。專著《把數學畫出來——小學畫數學教學實踐手冊》已由教育科學出版社正式出版。
（作者係數學特級教師、浙江省寧波市奉化實驗小學教師。本文為教育部全國十三五規劃課題《發展高階思維的小學數學探究性作業的設計與應用研究》的階段性成果，立項編號：FHB180591。）
專家點評 | 唐彩斌
畫數學，讓思維可見
從課堂變革的視角而言，劉善娜提出「把數學畫出來」，就是要找到一種適合兒童學習數學的「教與學」的方式。
新課程改革以來，我們一直致力於學習方式的改變。但事實上，在日常課堂中依然存在著「講講練練」「機械記憶」等狀況。讓學生動手畫出數學，就是改變傳統意義的學習方式，讓學習真實發生，讓思維流淌。
在關注學科核心素養的當下，「用數學的語言表達現實世界」已成為基本共識。那麼，什麼是數學的語言呢？是文字、是算式、是符號，是學生的「畫」。在學生的「畫」裡，融入了學生對數學概念的理解、對數量關係的分析、對空間幾何的表象、對數學方法的創意。也許有時學生列不出算式，解不出答案，卻能看懂「畫」，能「畫」出正確的結果。「畫」常常是學生個性化解決問題的方式。「畫」讓每一個孩子的思考變得與眾不同，讓每一個孩子的思考躍然紙上、呈現畫中，讓思維可見。
「畫數學」拓展了作者的研究視域。劉善娜曾帶領各地一線教師一起踐行「探究性作業」，如今又有了系列研究「畫數學」，從課堂的後端開始延伸到了前端，從知識技能的鞏固期延伸到了學生概念生發的關鍵期，為素養本位的數學學習提供了整體解決的參考方案。
（作者系特級教師、浙江省杭州市時代小學校長）
《中國教師報》2020年05月13日第4版