調製與解調

在簡諧波的疊加：相速度與群速度一文中，我們給出兩列簡諧波疊加的公式，並分析了幾列波在合成的過程中發生頻散的條件，事實上，兩列簡諧波的合成波的振幅總會受到其中一列波的調製。那麼究竟什麼是調製呢？調製與解調，是無線通信領域中常見的技術詞彙。在發送端把基帶信號（包含傳輸信息的有效信號）加載到某個載波（通常為高頻的正弦或餘弦波）的過程稱為調製，得到的信號稱為已調信號。解調是調製的逆過程，就是在接收端通過某種信號處理手段從已調信號中得到基帶信號。那麼為什麼要在無線通信的過程中採用調製與解調這種手段呢，直接傳輸基帶信號不行嗎？1）基帶信號的頻譜範圍通常很低，有時，甚至零頻的能量也不可忽略，而發射天線的尺度與電磁波的波長有關，只有發射天線尺度大於等於1/4倍的波長時信號才能有效傳輸，對於十幾千赫茲的信號，發射天線都都要十幾公裡。這在工程上是不切實際的；2）調製能夠實現頻譜搬移，將低頻信號搬移到高頻處，這能夠降低發射天線的尺度；3）低頻頻帶窄，都用低頻傳輸，會造成堵塞，調製能夠擴寬傳輸頻帶，提高了頻率利用率；4）調製能夠將多路基帶信號加載到頻率不同的載波上，完成信號的頻率分配，使多路信號互不幹擾地在同一個信道上傳輸，實現頻分復用；我們知道，可以用振幅、頻率和相位來描述一個波，因此，調製的方式也可分為調幅、調頻、調相。在下文中，將介紹雙邊帶幅度調製（Double Side Band Amplitude Modulation, 簡稱DSB-AM）與單邊帶幅度調製（Single Band Amplitude Modulation, 簡稱SSB-AM）的基本原理，並給出實現SSB-AM的Python代碼。雙邊帶幅度調製（DSB-AM）與解調為方便推導，假設基帶信號
接收端獲得解調信號

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矩形波單邊帶調製與解調的主程序代碼
"""


import numpy as np
import scipy.fftpack as fftp
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import Filter
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi']   # 保證正常顯示中文
mpl.rcParams['font.serif'] = ['KaiTi']        # 保證正常顯示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False    # 保證負號正常顯示


dt = 0.001                                    # 時間域採樣間隔
Fs = 1/dt                                     # 採樣率
T = 4                                         # 矩形波的周期
nT = 10                                       # 總的周期數
nPT = int(T/dt+0.5)                           # 每個周期的樣點數
n = nT*nPT                                    # 總樣點數
alpha = 0.5                                   # 矩形波的佔空比
t = np.arange(dt, n*dt+dt, dt)
f = np.zeros((n, 1), dtype=np.float64)
A = 1
for i in range(0, nT, 1):
    f[(i+1)*nPT-int(alpha*nPT):(i+1)*nPT] = A   # 得到矩形波


fc = 100  # 載波的頻率
g1 = np.cos(2*np.pi*fc*t).reshape(n, 1)
g2 = np.sin(2*np.pi*fc*t).reshape(n, 1)
hf = fftp.hilbert(f.reshape(n, ))        # 矩形波的希爾伯特變換

s = 0.5*f*g1-0.5*hf.reshape(n, 1)*g2     # 已調信號
s_dm = s*g1                              # 解調
cutoff = 60                              # 截至頻率
order = 6                                # 濾波器的階數
s_dm = 4*Filter.butter_lowpass_filtfilt(s_dm, cutoff, Fs, order)  # 作低通濾波

f_spec = np.fft.fft(f, n, 0)             # 作傅立葉變換
freq = np.fft.fftfreq(n, dt).reshape(n, 1)  # 得到每點的頻率
f_spec_amp = abs(f_spec)/(n/2)              # 對頻譜的振幅作歸一化
f_spec_amp[0] = f_spec_amp[0]/2
f_spec_amp[int(n/2)+1] = f_spec_amp[int(n/2)+1]/2

s_spec = np.fft.fft(s, n, 0)
s_spec_amp = abs(s_spec)/(n/2)
s_spec_amp[0] = s_spec_amp[0]/2
s_spec_amp[int(n/2)+1] = s_spec_amp[int(n/2)+1]/2

# 繪製一個周期內的矩形波
plt.figure(num=1)
plt.plot(t[0:nPT], f[0:nPT], 'b-')
plt.xlim(0, T)
plt.ylim(-0.5, 1.5)
plt.xlabel('時間/(s)')
plt.ylabel('振幅')
plt.title('一個周期內的矩形波信號')
plt.savefig('圖1.jpg', dpi=600)
plt.show()

# 繪製已調信號
plt.figure(num=2)
plt.plot(t[0:int(10/fc/dt+0.5)], s[0:int(10/fc/dt+0.5)], 'b-')
plt.xlim(0, 10/fc)
plt.ylim(-1.5, 1.5)
plt.xlabel('時間/(s)')
plt.ylabel('振幅')
plt.title('已調信號')
plt.savefig('圖2.jpg', dpi=600)
plt.show()

# 繪製基帶信號與已調信號的頻譜
plt.figure(num=3)
plt.plot(freq, f_spec_amp, 'b-', freq, s_spec_amp, 'r-')
plt.xlim(min(freq), max(freq))
plt.legend(('基帶信號的頻譜', '已調信號的頻譜'), loc='upper right')
plt.xlabel('頻率/(Hz)')
plt.ylabel('振幅')
plt.title('基帶信號和已調信號的歸一化頻譜')
plt.savefig('圖3.jpg', dpi=600)
plt.show()

# 繪製基帶信號與解調信號
plt.figure(num=4)
plt.plot(t[0:nPT], f[0:nPT], 'b-', t[0:nPT], s_dm[0:nPT], 'r-')
plt.legend(('基帶信號', '解調信號'), loc='upper right')
plt.xlim(0, T)
plt.ylim(-0.5, 1.5)
plt.xlabel('時間/(s)')
plt.ylabel('振幅')
plt.title('基帶信號和解調信號')
plt.savefig('圖4.jpg', dpi=600)
plt.show()
"""
濾波模塊
"""

import numpy as np
import scipy.signal as signalP


def butter_lowpass(cutoff, fs, order=5):
    """
    根據低通濾波通帶截至頻率和採樣頻率計算濾波器分子係數b和分母係數a
    :param cutoff: 截至頻率
    :param fs:     採樣頻率
    :param order:  濾波器的階數
    :return: b, a分別為濾波器的分子和分母
    """
    nyq = 0.5*fs
    normal_cutoff = cutoff/nyq
    b, a = signalP.butter(order, normal_cutoff, btype='low')
    return b, a


def butter_lowpass_filtfilt(data, cutoff, fs, order=5):
    """
    對信號作低通濾波
    :param data:     輸入信號
    :param cutoff:  通帶截至頻率
    :param fs:     採樣頻率
    :param order:  濾波器的階數
    :return:       返回值為y,經低通濾波後的信號
    """
    b, a = butter_lowpass(cutoff, fs, order=order)
    shape = data.shape
    if shape[0] != 1:
        data = data.T
    y = signalP.filtfilt(b, a, data)
    y =y.T
    return y
PS:完整的Python代碼，我已經整理到我的百度企業雲盤中，感興趣的小夥伴可以從以下分享連結（有效期7天）中下載：https://eyun.baidu.com/s/3ggWaYsz