粘彈性形變廣泛存在於眾多的聚合物和生物組織中，即使外部載荷恆定不變，形變也會隨著時間逐漸變化。線性粘彈性假設應力與應變和應變速率之間滿足線性關係。我們通常認為形變的粘性部分具有不可壓縮性，因此物質的體積形變近乎純彈性。除了線性粘彈性之外，COMSOL Multiphysics® 還能精確地模擬大應變粘彈性。下文將通過一個生物醫學中的應用說明如何使用這種材料模型。
動脈血管負責將富氧血液從心室輸送到全身，其管壁由內膜、中膜、外膜（位於最外側，又稱血管外層）組成。其中，中膜和外膜是主要負責維持動脈正常力學性能的血管層。
上述兩層膜的組成成分都是膠原軟組織，此類組織會表現出明顯可見的應變硬化行為。由於膠原纖維含量大，中膜與外膜均呈現出各向異性的特性，這表明了纖維增強結構提升了血管承受大應變的能力。
動脈管壁的結構。圖片由 BruceBlaus 自行拍攝。已獲 CC BY 3.0 許可，摘自維基共享資源。
在研究由年齡和疾病引起的動脈系統變化時，一個可靠的動脈壁力學本構模型是不可或缺的研究工具，而且此類工具還可應用於醫學假體的設計（參考文獻 3）。Holzapfel-Gasser-Ogden（HGO）本構模型（參考文獻 2）能捕獲上文提及的各向異性力學響應，這種力學響應已被研究人員在動脈切除實驗中的觀測結果所證實。在典型的實驗中，研究人員測量了多段動脈對管壁的軸向拉伸行為和動脈內血壓的響應，本文的數值仿真示例嘗試匹配此數據，以便更準確地了解動脈的力學性能。
大應變粘彈性的理論Bower 在《應用固體力學》一書中指出：「相比於有限應變塑性理論，有限應變粘彈性理論還不成熟，目前尚沒有一個統一的公式對其進行描述。」COMSOL Multiphysics 5.2a 版本為用戶提供了 Holzapfel 模型，它不僅可用於模擬大應變粘彈性（參考文獻 1，參考文獻 3），而且十分適合與 COMSOL 軟體中的任意預定義超彈性材料模型進行耦合。
該書的作者提出了一種廣義的 Maxwell 模型，將應變能密度分解為了體積貢獻和等體貢獻。
其中， C 表示右 Cauchy-Green 形變張量， 表示等體積形變張量。 表示與非平衡態相關的自由能，它與等體積右 Cauchy-Green 張量 和表示內部應變的變量之間存在函數關係（參考文獻1，參考文獻3）。
在純彈性分支中，應變能通帶有上標，表示長時間的平衡狀態（當 時）。
據此，Holzapfel 模型推導出了當 時，超彈性和粘彈性分支中的第二 Piola-Kirchoff 應力的表達式
並從熱力學層面上對輔助應力張量進行了定義
由此，我們得出了超彈性和粘彈性分支中的總第二 Piola-Kirchoff 應力的表達式
示意圖展示了廣義 Maxwell 模型中大應變粘彈性的第二 Piola-Kirchoff 應力。
接著，通過求解速率方程式，可以計算出粘彈性分支中應力的變化
其中， 表示粘彈性分支的鬆弛時間， 表示此分支中的第二 Piola-Kirchoff 應力張量。
Holzapfel 模型還假設在每個分支上都具有與彈性相關的等體積應變能量密度 ，由此得出
Holzapfel 形式中最主要的假設是：每一個分支的等體積應變能均取決於主超彈性分支的等體積應變能
其中，無量綱係數 被稱為應變能量因子。
所以，每個分支的第二 Piola-Kirchoff 應力可推導為
需求解的應變速率變成了
在 COMSOL Multiphysics 5.2a 版本中，廣義 Maxwell 粘彈性模型適用於所有的超彈性材料，而且軟體中用於模擬熱效應的選項與模擬線性粘彈性的選項相同。
藉助「用戶定義」選項，可以忽略熱效應，使用預定義的 William-Landel-Ferry 函數和 Arrhenius 移位函數，或者您還可以自定義移位函數。
下面，讓我們來看看如何在生物力學的建模過程中應用大應變粘彈性。
在 COMSOL Multiphysics 中模擬大應變粘彈性對於模擬動脈壁在軸向應力突然變化後的行為而言，超彈性材料模型比 HGO 材料模型更加精確，因此我們選用了前者。
如您想了解有關各向異性超彈性材料更詳細的建模步驟，請查看動脈壁力學的教學模型。
首先，我們向示例材料模型中添加粘彈性行為。如參考文獻 3 所述，將帶有五個分支的廣義 Maxwell 模型添加到 HGO 模型中，適用於模擬 1 毫秒至 10 秒範圍內的鬆弛時間，而且還可以定量描述動脈周邊的粘彈性響應（參考文獻 3）。為此，我們右鍵單擊超彈性材料節點，然後添加一個粘彈性節點（我們也可以將該節點與熱膨脹或其他效應進行耦合）。
默認情況下，我們得到的是帶一個分支的廣義 Maxwell 模型。或者，我們也可以使用標準線性固體（standard linear solid，簡稱 SLS）模型或 Kelvin-Voigt 粘彈性模型。
接下來，按照參考文獻 3 中的方法，在模型中添加五個分支及各自對應的能量因子和鬆弛時間。我們可以從文本文件中獲取（或者保存）這些參數。
完成了對 HGO 超彈性材料添加五個粘彈性分支後，現在我們便可以開始模擬動脈截面在經受了四分鐘軸向應變（大小恆定）後的情況。
粘彈性分支中的應力。請重點留意廣義 Maxwell 粘彈性材料的五個分支中的應力各自對應的鬆弛時間。
經受軸向應力後鬆弛至穩定狀態的時間比最高的鬆弛時間還長。上述示例表明了，COMSOL Multiphysics 提供了針對大應變粘彈性的模擬功能，讓我們可以十分方便地研究和理解各類生物醫學材料。
後續步驟參考文獻G. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering, John Wiley & Sons, 2000.
G. Holzapfel, T. Gasser, and R. Ogden, 「A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models,」 J. Elasticity, vol. 61, pp. 1–48, 2000.
G. Holzapfel, T. Gasser, and M. Stadler, 「A Structural Model for the Viscoelastic Behavior of Arterial Walls: Continuum Formulation and Finite Element Analysis」, European Journal of Mechanics A/Solid, vol.21, pp. 441–463, 2002.
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