工具機旋轉軸六自由度幾何誤差測量系統的設計
Chien-Sheng Liu a , ∗ , Hung-Chuan Hsu b , Yu-Xiang Lin
摘要：本文提出了一種新型的非接觸式光學測量系統，該系統結合了多角鏡和圓錐透鏡，以達到同時測量機器旋轉軸的六自由度（6 DOF）以及工具機的幾何誤差。在開始時，我們使用Zemax軟體構建建議的光學結構，並觀察探測器上光斑的變化。然後，我們利用偏光線跟蹤法在Matlab軟體上建立了所提出的光學結構，該光學結構用於呈現光斑變化的實際情況並與仿真結果進行比較。然後，我們設計了合適的固定裝置，以將系統結構放置在實驗室環境中的旋轉軸上。完成實驗室建造的原型後，我們分析了工具機旋轉軸不同角度位置上不同幾何誤差對探測器的影響。擬議的測量系統同時測量了6個自由度的旋轉軸幾何誤差，並使用ISO 230-7的測量方法將實驗結果與兩個百分表的測量結果進行了比較。實驗結果表明，X軸上的徑向運動誤差，Y軸上的徑向運動誤差，X周圍的傾斜運動誤差和Y周圍的傾斜運動誤差的最大偏差範圍為±4.7μm，±6.0μm，±分別為3.6 arcsec和±8.1 arcsec。
1. 引言
工具機的加工技術已經發展了很多年。隨著工件精度的要求，幾何誤差測量技術變得越來越重要。工具機的幾何誤差測量技術傳統上可以分為接觸式和非接觸式兩種 前者具有成本低，精度高的特點，但必須逐點接觸探針以接觸工具機的量規表面，這不僅要花費大量時間，而且會消耗探針[1,2]。因此，過一會兒需要對探頭進行半徑補償，否則會影響測量精度。在非接觸式測量技術中，雷射幹涉儀是使用最廣泛的測量儀器。但是，幹涉儀價格昂貴，並且一次只能測量工具機的一自由度（1 DOF）幾何誤差。如果要測量不同的自由度幾何誤差，則必須使用不同的反射鏡組和實驗設置。結果，測量效率明顯較低，並且在較長的測量期間內，測量環境可能會發生變化，從而影響測量精度[3,4]。
由於切削工具，旋轉軸，線性工作檯等的原因，工具機中存在各種幾何誤差源。在本文中，我們僅討論來自工具機旋轉軸的幾何誤差源。對象的運動自由度可以定義為6 DOF，包括分別沿X，Y和Z軸移動的三個線性運動，以及分別圍繞X，Y和Z軸的三個旋轉運動。工具機的旋轉軸還具有6個自由度幾何誤差，即X方向上的徑向運動誤差（𝛿 X），Y方向上的徑向運動誤差（𝛿Y），X軸周圍的傾斜運動誤差（ɛX），傾斜運動誤差 繞Y軸（ɛY），軸向運動誤差（𝛿 Z）和角度定位誤差（ɛZ）[5]。近年來，許多研究人員開發了多種方法來測量工具機線性軸和旋轉軸的多自由度幾何誤差[6]。前者開發得很好[7-10]，並將線性軸的6 DOF幾何誤差分為水平直線度誤差，垂直直線誤差，定位誤差，側傾誤差，俯仰誤差和偏航誤差[11，12 ]。儘管後者的研究文獻少於線性軸，但是最近它也開始發展[13]。例如，村上等。提出了一種新型的主軸誤差測量系統，該系統結合了圓柱透鏡和球面透鏡作為它們的運動模塊，可以測量5自由度的幾何誤差[14]。他等。用兩個雷射位移計和自行設計的夾具測量工具機旋轉軸的6個自由度幾何誤差[15]。Li等。利用單模光纖耦合雷射器和兩個後向反射器作為他們測量旋轉軸5自由度幾何誤差的新方法[16]。單模光纖的應用不僅提高了空間穩定性，而且顯著提高了測量雷射束的能量分布。其他類型的測量設備，例如雷射示蹤劑和雷射掃描儀，也可以測量旋轉軸的多自由度幾何誤差[17-19]。研究人員還可以使用具有均勻傳遞矩陣（HTM）方法的多體系統構建整個工具機，以進行誤差建模和誤差補償[20-22]。另一方面，幹涉測量法的應用可以用來測量相關誤差[23-26]。一些研究人員對傳感器和工具機的不確定性進行了研究[27-30]。
在本文中，我們提出了一種新穎的光學測量系統，該系統可以同時測量工具機旋轉軸的6個自由度幾何誤差，該系統使用圓錐透鏡和多角鏡作為其移動模塊。建議的測量系統的數學模型是使用HTM和我們的研究小組開發的偏斜射線追蹤方法建立的[31-35]。所提出的測量系統可以同時測量旋轉軸的6個自由度幾何誤差。
2. 擬議測量系統的結構布局和測量原理
2.1 結構布局
如圖1所示，所提出的測量系統的體系結構由兩部分組成：一個固定部分和一個移動部分。固定部分由三個雷射源，一個反射鏡，一個分束器（BS），三個位置敏感檢測器（PSD）和一些連接裝置組成。活動部件包括一個錐形透鏡，一個多角鏡，一個精密的圓柱度儀和一些連接裝置。精確的圓柱度計設計用於連接錐形透鏡和多角鏡。精密汽缸壓力計的功能是驗證所提出的測量系統的可行性。詳細說明在第4節中介紹。使用多角鏡的想法來自光學自動準直儀的測量方法，用於旋轉軸的角度定位測量。由於其結構簡單，所提出的測量系統具有成本低廉的優點。固定部分放置在旋轉軸的外部，以避免旋轉軸產生的振動誤差，並接收從移動部分反射的光斑。另一方面，將運動部件放置在測量的工具機旋轉軸上。
圖1. 建議的測量系統的結構。
因此，這些雷射源的雷射束分別撞擊運動部分並返回入射到PSD上。當測得的旋轉軸開始旋轉時，檢測器上的光斑信號會由於其幾何誤差而發生變化，並且可以將變化量輸入到建議的數學模型中，以計算出測得的6個自由度幾何誤差旋轉軸。
2.2 測量原理
所提出的測量系統可以分為具有三個雷射源和三個PSD的三個光路，如圖1所示。在第一光路（路徑1）中，雷射穿過BS並撞擊移動部分的多角鏡。對於PSD 1，角度定位誤差（ɛZ）和繞Y軸的傾斜運動誤差（ɛY）具有較高的靈敏度，與PSD 1的其他四個錯誤相比，它們具有更好的性，並且它們影響PSD 1上的光點在X方向上的圖像質心坐標的變化，並且分別為Y方向。這種設計可以減少其他四個錯誤與PSD 1的錯誤串擾。在第二和第三光路（路徑2和路徑3）中，兩個雷射束穿過移動部分的圓錐透鏡，並且彼此正交。預期角度定位誤差，其他5個自由度幾何誤差將導致路徑2和路徑3發生變化。圖2a–c分別顯示了光路的變化，其中X軸和Y軸上有徑向運動誤差，X軸周圍有傾斜誤差，而軸向運動有誤差。當運動部件隨旋轉軸移動時，所有6個自由度中的誤差將同時引起PSD上光斑位置的變化。換句話說，PSD上的光斑位置包含6個自由度耦合的幾何誤差。為了高效，準確地分析單個6自由度幾何誤差與光點位置信息之間的關係，使用我們的研究小組開發的HTM和偏斜射線追蹤方法建立了所提出的測量系統的數學模型[31 -35]。有關數學模型的詳細信息，請參見第3.1節。
圖2. 光路（a）在X軸和Y軸上有徑向運動誤差，（b）在X軸周圍運動有傾斜誤差，並且（c）有軸向運動誤差。
3. 擬議的測量系統的數值模擬和數學模型
3.1 數值模擬
通過光學仿真軟體Zemax對擬議的測量系統進行了仿真，以觀察將6個自由度幾何誤差分別耦合至擬議的測量系統時的情況。圖3顯示了所提出的測量系統的3D光學模型。圖4描繪了三個PSD上光斑位置的變化，其中不同的幾何誤差包括X方向上的徑向運動誤差（𝛿 X），Y方向上的徑向運動誤差（𝛿 Y），繞X軸的傾斜運動誤差 （ɛX），繞Y軸的傾斜運動誤差（ɛY），軸向運動誤差（𝛿 Z）和角度定位誤差（ɛZ）。這些仿真結果表明了採用該系統的可行性。也可以通過輸入我們構建的數學模型來計算光斑的位置變化，從而由於建議的測量系統的特定靈敏度而減少了操作時間。
圖3. 擬議的測量系統的3D光學模型。
圖4. 具有不同幾何誤差的三個PSD上光斑位置的變化。
3.2數學模型
另一方面，所提出的測量系統的數學模型是使用HTM和偏光跟蹤方法建立的[31-35]。利用偏光線跟蹤方法的平坦邊界表面和球形邊界表面的算法，變換矩陣RAi表示參考（R）坐標系中每個光學分量（i）坐標系的傳遞矩陣，並且如下：
圖5示出了路徑2的詳細的偏斜射線追蹤和每個光學組件（i）。如圖5所示，光學組件的第i個表面可以表示為𝑃𝑖-1 = [𝑃𝑖-1𝑥𝑃𝑖-1𝑦𝑃𝑖-1 -1𝑇 1]𝑇，並且雷射束具有單位方向矢量𝓁𝑖-1 = [ 𝓁𝑖-1𝑥𝓁𝑖-1𝑦𝓁𝑖-1𝑧 0]𝑇。如果𝜆 i是𝑃𝑖-1和P i之間的距離，則P i和𝜆 i可以表示為：
根據斯涅爾定律，反射射線的單位方向矢量𝓁i如下：
通過上述方法，我們可以計算出光學組件表面的單位方向矢量，然後可以將三個PSD上光斑的位置表示為：
其中，XPSDi（i = 1、2和3）和Y PSDi（i = 1、2和3）分別是PSD i上光點在X方向和Y方向上的圖像質心坐標。等式（5）–（10）描述了旋轉軸的6個自由度幾何誤差（包括X方向的徑向運動誤差（𝛿 X），Y方向的徑向運動誤差（𝛿 Y），傾斜運動誤差之間的關係。繞X軸（ɛX），繞Y軸的傾斜運動誤差（ɛY），軸向運動誤差（𝛿Z）和角度定位誤差（ɛZ））以及PSD上光斑的位置。等式（5）–（10）是一系列非線性方程，工具機旋轉軸的6 DOF幾何誤差非常小。因此，泰勒級數展開式可用於展開式。（5）–（10）為線性形式。在這裡，我們使用靈敏度分析來觀察哪些錯誤會嚴重影響傳感器的價值。表1列出了前導係數（A i，B i，C i，D i，E i和F i，i = 1、2、3、4、5和6）的所有分析結果。前導係數是相應線性和旋轉運動誤差的靈敏度，代表每個線性和旋轉運動誤差對光點在PSD上的位置的貢獻的權重。在不降低的情況下提高計算速度在計算精度上，我們去除了低靈敏度項，簡化了整個數學模型，簡化後的數學方程如下：
通過光學仿真軟體Zemax，可以分別以𝛿 X，𝛿 Y， ɛX，ɛY，𝛿 Z和ɛZ的不同幾何誤差獲得PSDs上光斑的圖像質心坐標，然後分別輸入到建議的數學模型中以獲得計算的幾何誤差值。圖6顯示了輸入到Zemax的理想幾何誤差與從所提出的數學模型計算出的幾何誤差之間的比較。可以看出，最大計算誤差𝛿 X，𝛿 Y，ɛZ，ɛX，ɛY和𝛿 Z分別為0.0006μm，0.015μm，0.0008μm，0.008 arcsec，0.0005 aresec和0.0005 aresec。這些計算出的誤差非常小。換句話說，數值結果證明所提出的數學模型對於工具機應用是足夠正確的。在本節中，將簡要介紹數學模型推導及其特點。有關數學模型的更多信息，請參見我們以前的論文[31–35].
圖5. 路徑2的斜射線跟蹤和每個光學組件（i）。
圖6. 根據數學模型計算出的幾何誤差：（a）X軸上的徑向運動誤差，（b）Y軸上的徑向運動誤差，（c）Z軸上的軸向運動誤差，（d）X軸的傾斜運動誤差，（e ）繞Y軸的傾斜運動誤差，（f）角度定位誤差。
4. 原型模型的實驗表徵
如圖所示。參照圖7和8，通過實驗室建造的原型證明了所提出的測量系統的有效性。所提出的測量系統的原型用於在工廠中同時測量五軸工具機（NXV560A，YCM，臺灣臺中）的旋轉軸（C軸）的6個自由度幾何誤差。實驗是在溫度受控的實驗室中進行的，以減少環境誤差，並且每次測量均向工具機的旋轉軸輸入30°間隔的角位置指令。
為了驗證所建議的測量系統的可行性，使用了兩個千分表（Mitutoyo：513–471–10E，解析度為1μm），它們使用的是ISO 230–7的測量方法，並且使用了精密的圓柱度表來測量幾何尺寸。簡單的三角方法得出旋轉軸的誤差。圖9顯示了包括兩個千分表的驗證系統。如圖所示，L0表示精密圓筒形量規的底部和下部千分表之間的距離；L1是兩個百分表之間的距離。當旋轉軸產生角度誤差（ɛ）和平移誤差（𝛿）時，這兩個百分表的讀數值將發生變化。圖10顯示了驗證系統的設置。
圖7. （a）實驗室建造的原型的移動部分和（b）固定部分。
圖8. 提出原型並測量五軸工具機。
圖9. 驗證系統示意圖。
圖10. 驗證系統的照片。
圖11顯示了一系列的測量結果，與驗證系統的測量結果相比，在每個位置進行了5次重複測量。但是，必須注意，驗證系統只能測量4個自由度的幾何誤差（𝛿 X，𝛿 Y，ɛX和ɛY）。旋轉軸。如圖所示，所提出的測量系統和驗證系統的測量曲線具有非常相似的形狀。證明了所提出的測量系統的可行性。測量結果表明，X軸上的徑向運動誤差（𝛿 X），Y軸上的徑向運動誤差（𝛿 Y），傾斜角繞X軸（ɛX）的運動誤差和繞Y軸（ɛY）的傾斜運動誤差分別為±4.7μm，±6.0μm，±3.6 arcsec和±8.1 arcsec。以上結果表明，所提出的測量系統可以同時測量工具機旋轉軸的6 DOF幾何誤差。
注意，進行實驗時，雷射束的不穩定性和未對準可能會影響測量結果[32、33]。在實驗中，將PSD的10 s採樣時間設置為平均，並減少了雷射不穩定的影響。為了減少由於不對中導致系統誤差，必須對每個組件進行調整，以確保所建議的測量系統的安裝誤差儘可能小。如圖7（a）所示。使用三軸手動平臺來對準精密的氣缸規。但是，還有許多其他誤差源（PSD靈敏度，組件位置誤差，像差，量化誤差和振動等）可能導致測量結果不完善。因此，將來必須考慮這些問題以提高所提出的測量系統的測量精度。
圖11. 幾何誤差隨位置變化的測量結果：（a）X軸上的徑向運動誤差，（b）Y軸上的徑向運動誤差，（c）X軸周圍的傾斜運動誤差，（d）Y軸周圍的傾斜運動誤差，（ e）角定位誤差，和（f）軸向運動誤差。
5. 結論
本文提出了一種新型的非接觸式光學測量系統，可以同時測量工具機旋轉軸的6個自由度的幾何誤差。在所提出的方法中，將多面鏡和錐形透鏡集成到一起以簡化其結構並降低其成本。所提出的測量系統的性能已使用實驗室製造的原型進行了演示。實驗結果表明，所提出的測量系統可以同時測量旋轉軸的6 DOF幾何誤差。結果，建議的測量系統為廣泛的光學檢查和幾何誤差測量提供了另一種解決方案工具機技術。
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