1 前言
在前面的一些文章裡面，我介紹了一些採用BP神經網絡做前饋控制器的方法。而實際上，對於比較複雜一些的系統或外界環境幹擾，要達到一個持久穩定的控制過程，僅僅靠前饋控制是很難滿足要求的。因此需要反饋控制進行補償控制。其實很多時候，對於信號可反饋的非線性系統的控制，單純的採用反饋控制的效果要比單純採用前饋控制的效果好，當然啦，二者結合就更好了。
圖1，（a）前饋控制；（b）反饋控制；（c）前饋控制+反饋補償控制
而這些反饋控制中，應用最廣，性價比較高的，要數比例、積分、微分控制，簡稱PID控制器了。但是該控制器也有些脾氣，例如面對較複雜系統的時候，會出現調參難的特點，當然這個只要你有耐心，還是可以調出來的。但是，有些情況下，就算調的再好，也未必滿足工作需要了，例如參考信號存在跳躍的情況，在採用微分環節時，噪音幹擾的情況。以上這些情況不一定靠耐心就能調節好的。
那麼該怎麼解決那些問題呢？這次我給大家介紹一種叫做跟蹤微分器的玩意，只要它跟PID一結合，就可能有效的解決這些問題了~
2 經典PID控制器
圖2就是經典PID反饋控制的基本結構，其控制量數學公式如（1）所示。其中e(t)=r(t)-y(t)。實際應用中，信號採集是離散的，因此常用的是方程（2）的離散PID形式。
圖2，經典PID反饋控制結構
1）如圖3所示，某些參考信號存在不少跳躍的情況，而運動系統由於受到慣性限制的原因，因此運動又是連續變化的，那麼反饋回來的跟蹤誤差信息必然是突變的，那麼往往在這個點會產生較大的控制誤差。
圖3，帶有跳躍特徵的信號對系統控制的影響
2）實際控制過程中，測量得到的反饋信號難免有噪音的幹擾，由於PID中的微分環節無法物理實現，因此大多採用近似微分方法進行。如方程（3）所示，ê(t) 為實際誤差值，n(t)為噪音值，如果這時候噪音值大於誤差的實際值，而採樣時間又很小時，那麼微分環節就會把噪音放大到覆蓋了有效值，導致錯誤的調節。
對於這兩大毛病，不用怕，接下來介紹一種跟蹤微分器的東西，只要把帶有跳躍特徵的參考信號經過跟蹤微分器的處理，就可以把上面兩個毛病解決。
3 跟蹤微分器（TD）
圖4是一個二階跟蹤微分器的輸入輸出示意圖。輸入量r表示參考信號，Z1負責跟蹤r值，如果r發生突變，Z1會以連續過渡的形式跟上，其跟蹤形式有很多，但是一般採用二階最速反饋系統進行跟蹤，使得Z1以最快的速度又不突變的跟上r。這樣的Z1就可以用來作為控制輸入的最終參考信號了。Z2負責跟蹤Z1的微分（雖然理論上是跟蹤Z1，其實目的就是跟蹤r的微分），同理，如果有N階跟蹤微分器，那麼ZN就是負責跟蹤ZN-1的微分。具體要多少階，就根據實際情況而定，對於PID而言，需要二階，但可以只利用Z1，也可以同時利用Z1和Z2。
圖4，二階跟蹤微分器
那麼這些Z究竟是怎麼跟蹤來跟蹤去的呢？以二階跟蹤微分器為例子，首先利用二階最速反饋系統的原理，估計出Z2的微分值，然後再把Z2進行離散積分獲得Z1。所以跟蹤微分器是從最高階開始一級級跟蹤的。如果信號有噪音，只有在最高階開始處理掉就行了。這裡近似微分採用的原理如方程（4）所示。通過方程（4）可以知道，這種近似微分的方法可以很好的削弱噪音的幹擾。
把上面思想整一起，就可以二階跟蹤微分器的算法步驟了。由於具體理論推導過程涉及比較枯燥的數學方程，因此不對理論部分做太多介紹啦。
到此，TD思想和原理就介紹完畢了，接下來我們來看看它的跟蹤效果和與PID結合使用的情況。
4 實驗與分析
根據TD的算法原理，採用之前我在推文裡面介紹的，如何根據數學原理搭建Simulink仿真控制器的思想，很容易就可以搭建如圖5所示的TD子系統。(PS:我自己搭建的相關模型，送給大家，可以通過複製該百度雲連結，粘貼至瀏覽器領取：https://pan.baidu.com/s/1mknC4S4 密碼：yo7q)
首先，我們來看看圖6的跟蹤效果。圖6是d取0.5，h取0.01時的跟蹤效果。從小試TD的結果來看，TD的確不僅可以做到對跳變特徵進行連續過渡跟蹤的效果，還可以做到自帶濾波的效果。直觀效果還不錯，那麼接下來就是正式實驗了，主要探究不同的d和h在不同的噪聲大小下的跟蹤性能，PID與TD結合與沒有結合的控制效果。
圖5，二階TD子系統外部I/O口和內部結構示意圖
圖6，TD對帶噪聲的方波的跟蹤效果
4.1 參數h和d對TD性能的影響
通過控制變量法的思想，設計了一系列的h和d值，讓這些TD對被噪音幹擾的參考信號進行跟蹤。實驗結果如圖7所示。
(a)
(b)
圖7，在不同參數h和d下，TD對參考信號的跟蹤結果示意圖
分析如下：
（1）由圖7（a）可以發現，參數d值越大，TD對於跳變特徵的過渡跟蹤就越快，然而濾波效果也就越差。
（2）由圖7（b）可以發現，參數h值越大，TD對於跳變特徵的過渡跟蹤就越快，然而濾波效果也就越差。
（3）綜合圖7（a）和（b）和可以發現，TD跟蹤性能對h的值更加敏感。
綜合分析（1）-（3）可以知道，參數d可用於TD跟蹤性能的粗調，參數h可用於微調。且它們越小，就可以獲得更加平緩和濾波效果更好的跟蹤性能。
4.2 利用TD改善PID跟蹤性能的實驗
結合了TD的PID反饋的仿真控制系統如圖8所示。這裡假設參考信號是實時測量獲得的，含有噪音，而TD複雜對待噪音的參考信號進行跟蹤。然後把跟蹤信號當做最終參考信號。我把該仿真系統TD去掉，得到只含PID控制的仿真系統，就是本實驗的對照組。實驗結果如圖9所示。
圖8，結合了TD的PID反饋的仿真控制系統結構示意圖
（a）
（b）
圖9，含有TD和不含有TD在PID反饋控制系統中的運動跟蹤控制仿真效果
通過圖9的實驗結果，可以明顯的發現，加入TD對參考信號進行過渡跟蹤時，再採用PID反饋補償跟蹤控制，在跳變處能夠獲得更加穩定小超調的跟蹤效果（如圖a）。即使由於TD緩衝使得跟蹤控制有所延時，但是這種濾波和緩衝過渡後的信號能夠使得跟蹤控制擁有更快的收斂速度（如圖b）。實際上，每逢跳變處，TD+PID的控制策略在1秒內就可以使得跟蹤誤差低於0.06，而單純的採用PID控制，要使得誤差達到0.6以下，則需要到第4秒才行。
由此可見，TD在PID控制中的緩衝降噪作用，可以明顯改善跟蹤控制的綜合性能。
5 總結
通過本次仿真實驗，直觀了解到TD在PID控制中的緩衝降噪作用，也了解到：參數d值越大，TD對於跳變特徵的過渡跟蹤就越快，然而濾波效果也就越差，參數h值越大，TD對於跳變特徵的過渡跟蹤就越快，然而濾波效果也就越差，以及參數d可用於TD跟蹤性能的粗調，參數h可用於微調。且它們越小，就可以獲得更加平緩和濾波效果更好的跟蹤性能三個主要調參規律。另外還可以得知TD有些時候還可以單獨的充當濾波器，或者與其餘控制器相結合，提高其性能(例如自抗擾控制器)。
最後預祝大家：
元宵節快樂~闔家幸福美滿~
以上內容即為本次介紹的內容，謝謝瀏覽~。
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