中考複習:分類討論思想在等腰三角形中的應用

分類討論思想是解題的一種常用方法，在等腰三角形中，往往會遇到條件或結論不唯一的情況。此時就需要進行分類討論。通過正確地分類討論，可以使複雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。其解題策略是：先分類，再畫圖，最後計算。下面我們將進行舉例說明。

應用一：當頂角或底角不確定時，分類討論

例1：若等腰三角形中有一個角等於40°，則這個等腰三角形頂角的度數為（　　）

A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或70°

【分析】由等腰三角形中有一個角等於40°，可分別從①若40°為頂角與②若40°為底角去分析求解即可求得答案．

【解答】解：∵等腰三角形中有一個角等於40°，

∴①若40°為頂角，則這個等腰三角形的頂角的度數為40°；

②若40°為底角，則這個等腰三角形的頂角的度數為：180°﹣40°×2＝100°．

∴這個等腰三角形的頂角的度數為：40°或100°．

故選：C．

【點評】此題考查了等腰三角形的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是掌握等邊對等角的知識，掌握分類討論思想的應用．

應用二：當底和腰不確定時，分類討論

例2：已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為（　　）

A．8或10 B．8 C．10 D．6或12

【分析】分2是腰長與底邊長兩種情況討論求解．

【解答】解：①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、4，

∵2+2＝4，∴不能組成三角形，

②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、4、4，

能組成三角形，

周長＝2+4+4＝10，

綜上所述，它的周長是10．

故選：C．

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，難點在於要分情況討論並利用三角形的三邊關係進行判定．

例3：已知等腰三角形的兩邊長分別是6cm和10cm，求這個等腰三角形的周長。

【分析】根據等腰三角形的性質，分兩種情況：①當腰長為6cm時，②當腰長為10cm時，解答出即可；

【解答】解：根據題意，

①當腰長為6cm時，周長＝6+6+10＝22（cm）；

②當腰長為10cm時，周長＝10+10+6＝26（cm）．

故答案為：22或26．

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質定理，本題重點是要分兩種情況解答．

例4：等腰三角形的兩邊長分別是a和b，且滿足|a﹣1|+（2a+3b﹣11）＝0，這個等腰三角形的周長．

【分析】根據絕對值及偶次方的非負性結合|a﹣1|+（2a+3b﹣11）＝0即可求出a、b的值，分a為腰長及b為腰長兩種情況考慮：當a為腰長時，另一腰長為1，由三角形的三邊關係可知此種情況不存在；當b為腰長時，另一腰長為3，根據三角形的周長公式即可求出結論．綜上即可得出結論．

【解答】解：∵|a﹣1|≥0，（2a+3b﹣11）2≥0，且|a﹣1|+（2a+3b﹣11）＝0，

∴a﹣1=0，2a+3b﹣11=0

解得：a=1，b=3

①當a為腰長時，另一腰長為1，

∵1+1＜3，

∴不符合三角形三邊關係；

②當b為腰長時，另一腰長為3，

此時三角形的周長為3+3+1＝7．

綜上所述，這個等腰三角形的周長為7．

【點評】本題考查了等腰三角形的性質、偶次方（絕對值）的非負性、三角形的三邊關係以及三角形的周長，根據絕對值及偶次方的非負性結合|a﹣1|+（2a+3b﹣11）＝0求出a、b的值是解題的關鍵．

應用三：當等腰三角形的形狀不確定時，分類討論

例5：等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為50°，求頂角的度數.

【分析】由於本題已知中沒有明確指出等腰三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，因此要分情況討論．

【解答】解：△ABC是等腰三角形，且∠BAC為頂角，CD是腰AB的高．

（1）當等腰三角形是銳角三角形時，如圖①；

∵∠ACD＝50°，

∴∠BAC＝90°﹣∠ACD＝40°；

（2）當等腰三角形是鈍角三角形時；

一、如圖②﹣1；

當∠BCD＝50°時，∠B＝40°；

∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝100°；

二、如圖②﹣2；

當∠ACD＝50°時，∠CAD＝40°；

∴∠BAC＝180°﹣∠CAD＝140°；

故這個等腰三角形頂角的度數為：100°或140°或40°．

故答案為：100°或140°或40°．

應用四：由腰的垂直平分線引起的分類討論

例6：在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，求底角∠B的大小．

【分析】此題根據△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況解答．

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質，此類題需要注意的是要分兩種情況解答，考生在考慮問題時要全面．

應用五：由腰上的中線引起的分類討論

例7：已知一個等腰三角形底邊的長為5cm，一腰上的中線把其周長分成的兩部分的差為3cm，則腰長為（　　）

A．2cmB．8cm C．2cm或8cm D．10cm

【分析】作出圖形，根據三角形的中線的定義可得AD＝CD，然後求出兩三角形的周長的差等於腰長與底邊的差，然後分情況討論求解即可．

例7圖

【解答】解：如圖，∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，

∴兩三角形的周長的差等於腰長與底邊的差，

∵BC＝5cm，

∴AB﹣5＝3或5﹣AB＝3，

解得AB＝8或AB＝2，

若AB＝8，則三角形的三邊分別為8cm、8cm、5cm，能組成三角形，

若AB＝2，則三角形的三邊分別為2cm、2cm、5cm，

∵2+2＝4＜5，∴不能組成三角形，

綜上所述，三角形的腰長為8cm．

故選：B．

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的中線，難點在於分情況討論並利用三角形的三邊關係判斷是否能組成三角形．

應用六：點的位置不確定引起的分類討論

例8：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有（　　）

例8圖

A．4個 B．5個 C．6個 D．7個

【分析】根據等腰三角形的判定，「在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）」分三種情況解答即可．

【解答】解：如圖，

①AB的垂直平分線交AC一點P1（PA＝PB），交直線BC於點P2；

②以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有二點P3，P4，交BC有一點P2，（此時AB＝AP）；

③以B為圓心，BA為半徑畫圓，交BC有二點P5，P2，交AC有一點P6（此時BP＝BA）．

2+（3﹣1）+（3﹣1）＝6，

∴符合條件的點有六個．

故選：C．

【點評】本題考查了等腰三角形的判定；構造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．